Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
модель, берутся невзаимодействующие частицы, число которых сохраняется и
давлением которых можно пренебречь. В этом случае в уравнениях (160.2) и
(160.3)
§ 163. ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ МОДЕЛИ
419
нужно положить Лир равными нулю. В результате зависимость радиуса от
времени будет определяться уравнением
w=±Vn-1' <'63.1)
где а- постоянная, связанная с плотностью вещества и радиусом модели
соотношением
8:rtpm^!3=a=const. (163.2)
Легко видеть, что интегралом уравнения (163.1) является циклоида в
плоскости Rt:
R = 2r (1 - cos гр), t = ^ ('Ф - sin гр), (163.3)
откуда следует, что радиус осциллирует между R = 0, радиусом
сингулярного состояния при t = 0, и максимумом R - a/З при
t = nal 6.
В основе второй осциллирующей модели лежит предположение, что вещество
внутри нее состоит исключительно из излучения черного тела [106]. В этом
случае зависимость радиуса от времени с учетом (160.2), (160.3)
определяется уравнением
(163.4)
где р - константа, связанная с радиусом и давлением излучения следующим
соотношением:
8яро-#4=Р = const. (163.5)
Интеграл уравнения (163.4) легко найти:
R=-.yf-(163.6)
причем максимум R приходится на t-0.
Как показано в § 157, осциллирующие модели существуют также и при Л=^0.
Их развитие во времени видно из рис. 9, взятого из той же работы де
Ситтера [101]. Кривая IX представляет циклоиду для случая, когда и Л, и
давление равны нулю Кривая VII относится к предельному случаю Л=ЛЕ, т. е.
к модели типа Ai, которая, расширяясь, асимптотически вырождается в
статическую эйнштейновскую Вселенную. Этот случай занимает промежуточное
положение между осциллирующими моделями типа Оi и монотонно
расширяющимися моделями типа Ми На рис. 9 представлен также ход эволюции
еще нескольких, слегка различающихся по параметрам моделей, которые
расширяются до бесконечности.
С точки зрения пригодности для описания реальной Вселенной осциллирующие
модели с Л=0 обладают тем недостатком, 27*
420
Гл. X. космология
что у них слишком мал промежуток времени, который они проводят вне
сингулярного состояния. Кроме того, они пока еще не объясняют механизм
перехода через сингулярное состояние.
Чтобы оценить, сколько времени прошло после выхода модели из сингулярного
состояния, удобнее всего воспользоваться выражением (150.7) для давления:
8лРо = -^e~g ко
Положив Л=0, перепишем его в следующем виде:
+ -Г5
1
+
8
'о 8
8я?о • " 81
(163.7)
откуда ясно, что во всяком случае можно положить
И'И-
Интегрируя по времени расширения от значений (/" g.) при сингулярном
состоянии до текущих (/, g), получаем
\_( 1 1 3
t-ta
8
8s
§ 164. ОТКРЫТАЯ МОДЕЛЬ ЭЙНШТЕЙНА - ДЕ СИТТЕРА
421
откуда видно, что для осциллирующих моделей с А=0 во всяком случае можно
написать, что
А* <4, (163.8)
з 8
где At - время, прошедшее с момента выхода из сингулярного состояния, а
значение g берется в текущий момент и для реальной Вселенной может быть
определено из красного смещения.
§ 164. Открытая модель Эйнштейна - де Ситтера (А=0, #0=оо)
Наиболее простая с математической точки зрения модель
получается, если А в выражении (149.1) для интервала ds2 положить равной
нулю, a Ro - бесконечности:
А=0, #о=оо, (164.1)
как было предложено Эйнштейном и де Ситтером [107]. Интервал тогда
запишется в следующем виде:
ds2=-egW (dr2+r2d 02+г2 sin2 0 dy2) +dt2 (164.2)
или
ds2=-es<() {dx2-\-dy2-\-dz2) -\-dt2,
а пространство - время станет плоским и пространственно неограниченным.
Далее, общие выражения для давления и плотности (150.7) и (150.8), после
подстановки в них (164.1), приводятся к очень простому виду:
8np0 = -g-^g2 (164.3)
и
8яроо - \ g2- (164.4)
Первое из этих уравнений требует, чтобы ускорение g было всегда
отрицательным, так как иначе давление будет отрицательным. Второе
же уравнение позволяет сразу установить связь
между плотностью и допплер-эффектом. Эти уравнения могут
быть легко проинтегрированы в двух предельных случаях: когда жидкость
состоит только из вещества с пренебрежимо малым давлением, либо когда она
состоит только из излучения с давлением, пропорциональным плотности.
Если модель заполнена веществом с нулевым давлением, то из (164.3)
получаем уравнение
$ + 7(5?)'=° Ов4.5)
422
Гл. X. космология
п интеграл этого уравнения
,'ug_
at + b, (164.6)
где а и b - постоянные. Используя (164.4), находим значение одной из
констант:
6яр00е'2г. (164.7)
Если же модель заполнена только излучением с давлением, равным одной
трети от плотности энергии, выражения (164.3) и
(164.4) позволяют получить следующее уравнение:
Ж + iffj-*- <164-8>
которое имеет решение
e*=at+b. (164.9)
Постоянная а здесь принимает значение
а
= /^Роо^. (164.10)
Тем же методом, что и в конце предыдущего параграфа, легко получить
промежуток времени, истекший с момента выхода из сингулярного состояния.
В модели Эйнштейна - де Ситтера он во всяком случае не больше, чем
(i64.il)
3?
§ 165. Исследование отброшенных малых величин в рассмотренных моделях
Конкретные модели, на примере которых мы в предыдущих параграфах
