Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (211) может быть представлено в четырехмерной инвариантной форме, если перейти от силы, действующей на весь заряд, к силе
на единицу объема (плотности силы). Это выражение наводит на мысль построить произведение бивектора Fitt и четырехмерного вектора тока
Сила на единицу объема (плотность силы) представляет собой три пространственные компоненты четырехмерпого вектора, временная компонента которого есть (деленная на с) работа в единицу времени, приходящаяся на единицу объема (плотность мощности). Это важное обстоя-
*) Bucherer [140]. Cm., кроме того, заключительные опыты Вольца [141], а также дискуссию между Бухерером и Бестельмейе-ром [142].
**) К. Glitscher [148]. Выдержки в [149]. Cm. также A. Som-merfeld [150], где указано, что впервые это доказательство пере-ыенности массы дал Ленц (W, Lenz),
(212а)
Х216)'
(217)
120 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
тельство было в значительной мере установлено еще Пуанкаре [14] и позже ясно сформулировано Минковским [64]. Из (201) и (216) следует, что четырехмерный вектор плотности электромагнитной силы /і перпендикулярен к вектору скорости Ui
ZiIti = о. (218);
Теперь можно сформулировать в четырехмерной инвариантной форме закон движения (214); это можно сде-
лать двумя способами. С одной стороны, можно ввести четырехмерный вектор Ki с компонентами
(Kv K2, K3) = -^=; Кл = уШг. (219)
У і-p2 У і - р3
То, что эти величины действительно образуют четырехмерный вектор, следует из формул преобразования
(213) для силы. Выражение K/Yl — fi2 называется силой Минковского, в отличие от ньютоновой силы К. Уравнения движения имеют в этом случае вид
d2 Xі „і du, „
To0 —5- = К или т0—1 = К г. (220)
dx dx
С другой стороны, можно отнести уравнения движения к единице объема. Если до — плотность массы покоя mo/Vo, то ч
Hod2XiIdr2 = f; HoduiIdx-ft. (221)
Следует заметить, что физический смысл уравнений (221) не совсем ясен, если они применяются к электрону (см. гл. V, § 63), по крайней мере до тех пор, пока вектору /і придается значение (216). Уравнения (221) в этом случае справедливы, только если в правую их часть не включено собственное поле рассматриваемой частицы.
При і = 4 уравнения (220) и (221) выражают закон сохранения энергии, являющийся следствием уравнений движения. В соответствии с этим как уравнения (220), так и уравнения (221) не зависимы друг от друга, так как путем скалярного умножения их на Ut, учитывая (192) и (218), получаем тождество 0 = 0. Об обобщении определения вектора силы и уравнений движения см. § 37.
g 30, ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 121
§ 30. Импульс и энергия электромагнитного поля. Дифференциальная и интегральная формы законов сохранения
В электродинамике доказывается, что плотность ло-ренцевой силы f может быть представлена как сумма поверхностной силы, вызванной максвелловскими напряжениями и взятой с обратным знаком производной по времени от плотности импульса электромагнитного поля (см. [132], § 7), т. е.
/ = divT-?, (D)
где максвелловские напряжения
Tih = [EiEk - Ч2ЕЧік) + (F1Fft - Ч2тл)
(І, й = 1, 2, 3), и плотность импульса (см. [132], § 7)
g = 4-s; s = c[EH],
С
Покажем, что векторное уравнение (D) вместе со скалярным уравнением для энергии (см. [132], § 6)
^ + divS = -(fu); W = -L(E* + W) (E)
могут быть соединены в четырехмерное векторное уравнение. Образуем сперва из бивектора Fih симметричный тензор второго ранга
5? = V2 (FirFhr - F*rF*k) = FirFbt - 1IiFrJ^l (222)
Заметим, что
,Sii = 0. (223)
Компоненты тензора S* равны:
Si = - Tih для г, к = 1, 2, 3;
(Si, Si, Si) = (S14, S241 S34) = -L S = icg; (224)
SJ - S44 = S44 = - W,
Таким образом, пространственные компоненты тензора S равны с точностью до знака компонентам максвелловских напряжений; пространственно-временные комно-
122 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ненты равны вектору Пойнтинга и плотности импульса, и временная компонента равна плотности энергии с обратным знаком. Уравнения (D) и (E) можно тогда, как впервые отметил Минковский ([64], II), путем введения определенного соотношения (216) вектора f, записать в виде единой системы уравнений
fi^—dSlfd* (f = — div S), (225)
Для і = 1, 2, 3 получаем закон сохранения импульса, для і = 4 — закон сохранения энергии. Поэтому закон (225) называют законом сохранения энергии-импульса, а тензор S — тензором энергии-импульса электромагнитного поля.
Далее оказывается, что вывод уравнений (С) и (D) из уравнений поля (А) и (В) сильно упрощается при использовании четырехмерной формы записи: формула (17G) тождественна с (225), если отождествить Cp1 с четырехмерным потенциалом, Fik с бивектором напряженности поля и s' с четырехмерным током; поэтому нужно только применить вывод а), § 23 к случаю постоянных gih (от этого вывод сильно упрощается), чтобы получить (225). Прямое вычисление также осуществляется без труда.
Релятивистское понимание закона сохранения энергии и импульса представляет интерес не только с формальной, но и с физической точки зрения. Если закон сохранения энергии (четвертая компонента (225)) имеет место в любой системе координат, то закон сохранения импульса получается сам собой. Оба закона играют при описании процессов природы вполне равноправную роль. В соответствии с пониманием вектора S в (E) как потока энергии представляется последовательным говорить о величинах Tik как о компонентах потока импульса. Поскольку импульс сам есть вектор, этот поток образует (в обыкновенном пространстве) тензор, в отличие от вектора S в случае потока энергии. Максвелловские напряжения, которые раньше рассматривались как чисто вспомогательные величины (см. [132], §7, с. 163), приобретают поэтому физическое значение; оно было предложено Планком [151]*) (обобщение этого толкования и урав-
