Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
движения, то
(я IRI */) = - <х, [ IIRn |, у) = -(-ф+1у(х\ К\у), так что
(x|R|z/) = 0, если 1Х + 1У - четное число, (2.41)
а это и есть правило отбора Лапорта, о котором мы упоминали в разд. 2.1.
Система уравнений (2.37) и (2.41) эквивалентна следующему утверждению:
отсутствие электрических дипольных переходов (x|R|z/) = 0 равносильно
выполнению условия
| 1х-1у\ф\.
Подтверждается ли теория экспериментом?
И да и нет. С одной стороны, очень хорошо подтверждается, с другой -
очень плохо. Теоретические значения энергий связи полностью
подтверждаются с точностью 10~4. Современная теория квантовой
электродинамики дает поправку порядка (Zaf/n3 [т. е. относительную
поправку порядка (Za)2/n~ 10-4], так что энергии уровней с различными
значениями I и одним и тем же п мало отличаются друг от друга ').
') Расстояние между двумя уровнями с п =2, 1=1 и 1 = 2, предска-
зываемое квантовой электродинамикой, имеет порядок Z4a52~3, т. е. ~
103МГц,
что совпадает с экспериментальным значением с точностью до 10-1 МГц, т.
е. ~ 10~15тс2/й. Квантовая электродинамика не является точно
сформулированным предметом для математиков Уточненные предсказания для
по-
зитрония, мюония и т. д. также очень хорошо согласуются с экспериментом.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
47
Гораздо хуже обстоит дело с подсчетом числа уровней. В этом можно
убедиться, помещая атом водорода в постоянное электромагнитное поле (F -
электрическое поле, В - магнитное поле). В этом случае к гамильтониану Н
нужно добавить оператор
Нет^-Ц- K-F + ^L-B. (2.42)
Влияние электрического поля F (эффект Штарка) легко учесть, чего нельзя
сделать для магнитного поля В. В самом деле, уровни с одним и тем же
значением I должны расщепляться на 21 + 1 уровней, разделенных
расстоянием еВ/2тс. Расщепление действительно происходит, но на четное
число уровней! Это обусловлено спином электрона, который мы пока не
учитывали (см. разд. 2.6). Следует учесть также спин протона; при этом
эффект будет иметь порядок
(- is-)~ а (Za,)3 т т~х.
' тетр R6 / v ' еР
2.5. АТОМ ГЕЛИЯ
Атом гелия имеет ядро с зарядом Ze = 2e (и массой ~4тр) и два электрона.
Выделив движение центра масс, получим для гамильтониана, соответствующего
внутренней энергии,
Н=Н1 + Н2 + ^, (2.43)
Д12
где Hi - P]l2tn -Ze21 Ri - гамильтониан атома водорода, а оператор Ri2
соответствует величине г12 = )г2 - П | - расстоянию между двумя
электронами. Если мы пренебрегаем членом e2/Rl2 (точность этого
приближения больше 10%), то нашу проблему можно считать решенной. Мы
будем рассматривать только связанные состояния. Пусть есть гильбертово
пространство связанных состояний атома водорода. Для нашего упрощенного
атома гелия гильбертово пространство есть Ж1) (r) с гамильтонианом Н0 <g>
I1 <g> Но, где Н0 - гамильтониан атома водорода. Таким образом, энергия
связи равна - (Za)2(l/"2 + 1 /rtl)/2, т. е. равна сумме энергий связи
двух электронов.
Будем считать член е2/Д12 возмущением. Этот член нарушает SO (4)-
инвариантность, так что электронные уровни с различными значениями I и
одним и тем же п уже не обладают
48
Л. МИШЕЛЬ
одной и той же энергией. (Как мы увидим в разд. 2.6, для заданного п
величина Е увеличивается с ростом /.) Однако момент количества движения и
четность по-прежнему сохраняются:
[L, Н] = О, [П,Я] = 0, (2.44)
и два электрона остаются неразличимыми:
[5,2, Н] = 0, (2.45)
где 5J2 - оператор перестановки двух электронов:
Si2 = /, 5,2(Л (r) B)Si2 = B(r) АеЙ'(1(1)(r)*")). (2.45а)
Разложение тензорного произведения 5^(1) (r) Ж1) в прямую сумму
симметрического и антисимметрического тензорных пространств
5g(i) ^ ago) = ago) v 58(i)028") Д 58<*>, (2.46)
которое можно переписать также в виде
58" = 58и(r)58[1>1, (2.46а)
дает разложение на пространства собственных векторов оператора 512. Пусть
х и у- состояния атома водорода. Возникает вопрос, какому из этих
состояний, х у у = \/У 2(х(r)у -\-+ у (r) х) или х А у = 1/У 2 (х (r) у - у (r)
х), соответствует меньшее среднее значение положительного оператора
е2//?,2. Очевидно, мы должны взять состояние х А У, поскольку волновая
функция двух электронов в этом случае обращается в нуль при /?,2 = 0,
когда е2Щ12->оо (тогда как функция х У У обычно имеет максимум при R,2 =
0). Эта симметрия приводит также к новому правилу отбора для дипольного
излучения. Матричный элемент оператора дипольного перехода пропорционален
выражению
<i|>|R, -fRaHO- (2-47)
Поскольку вектор R, + R2 симметричен относительно перестановки индексов 1
и 2, то функции фиф' должны иметь один и тот же характер симметрии е =
е'(е2 = 1):
<ф| Ri + R21Ф') = <Ф1 5,2 (R, + R2) 5,21 ф') =
= ее'(ф| R, + R2 |ф'). (2.47а)
Как мы уже отмечали в разд. 2.1, отсюда следует, что уровни энергии атома
гелия в соответствии с их характером симме-
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
49
трии делятся на две группы и электрические дипольные переходы происходят
только внутри каждой группы. Напомним, что гелий получил свое название
