Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы распространить исчисление Картана, используемое при изучении электромагнетизма и в других приложениях (гл. 4), на случай анализа кривизны (данная глава), необходимо слегка пополнить арсенал форм и внешней производной — ввести два новых понятия: 1) понятие внешней дифференциальной формы, значения которой представляют собой векторы (или тензоры),
2
424 14' Вычисление кривизны
Обобщенная
внешняя
производная:
1) действие на скаляр
2) действие на вектор
и 2) соответствующее обобщение понятия внешней производной d. В данном параграфе с помощью обоих этих понятий выводятся ключевые формулы (14.18), (14.25), (14.31) и (14.32). Однако, будучи однажды выведенными, эти формулы во всех приложениях и при любых вычислениях кривизны не требуют ничего, кроме владения обычным внешним дифференцированием (§ 14.6, дополнение 14.5).
Обобщенная внешняя производная не дает ничего нового в случае применения ее к двум простейшим геометрическим объектам: скалярной функции («0-форме») и векторному полю («векторнозначной
0-форме»). Итак, берем произвольную функцию /. Ее производная в неконкретизированном направлении представляет собой 1-форму, или, вводя новую терминологию, которая скоро приобретет смысл, «скалярнозначную 1-форму». Зададимся конкретным направлением, в котором нужно продифференцировать («заполним входной канал 1-формы»). В результате получим обычную производную от функции
(AU и> = 5„/. (14.11)
Затем возьмем произвольное векторное поле V. Его ковариантная производная в неконкретизированном направлении представляет собой «векторнозначную 1-форму». Зададимся конкретным направлением и, в котором нужно продифференцировать («заполним входной канал 1-формы»). В результате получим ковариантную производную
<dv, и)э VuV. (14.12а)
Этот объект также не нов; он представляет собой ковариантную производную вектора V в направлении вектора и. Абстрагируясь от выбора конкретного направления дифференцирования U, приходим к выражению, с которым мы уже встречались выше, хотя оно и не именовалось тогда «векторнозначной 1-формой». Это выражение есть мера ковариантной производной вектора V в неконкретизированном направлении («канал для направления не заполнен»). Взглянув на (14.12а), мы видим, что обобщенная внешняя производная от V, вычисленная без обращения к и, есть
dv = Vv. (14.126)
Подобным же образом для любой «тензорнозначной 0-формы» [т. е. тензора ранга S имеем dS = VS.
Прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению внешнего (которое вскоре будет охарактеризовано как «антисимметричное») дифференцирования тензоров, выпишем формулу (см. упражнение 14.5) для внешней (антисимметричной) производной от произведения форм:
d («Л Р) = (da) Л р + (- 1)раД dp, (14.13а)
где а—/ьформа, а P — д-форма.
§ 14.5. 2-формы кривизны 425
Обобщим теперь внешнюю производную простейших форм на случай внешнего произведения тензорнозначной р-формы S на обычную д-форму 0:
d(SAP) = dSAP + (-l)pSAdp. (14.136)
Это соотношение можно считать определением обобщенной внешней производной в общем случае. Например, если S есть тенаор-яозначная 2-форма, S = <Sap|V6ieaepda:vAda:e, то соотношение (14.136) дает
dS = d [(eaef,*Sap|V6i) (d^Ada6)] = dteaepiS^iveiJAfdzvAdz*).
В качестве еще одною примера найдем с помощью (14.136) d(co), где и — векторнозначная 0-форма (вектор), а а—скалярнозпачная
1-форма (1-форма):
d (ио) = (du)A<*+ u da.
Если следовать изложению предыдущих глав, то здесь нужно было бы напасать и 0 о вместо на, и 0 do вместо udo и еа 0 ер вместо еавр. Однако во избежание излишнего усложнения обозначений здесь и ниже все символы тензорного произведения опущены.
Соотношения (14.12) и (14.13) представляют собой нечто большее, нежели просто определение (обобщенной) внешней производной d и способа ее применения при вычислениях. Они позволяют также определить и вычислить антисимметризованные вторые проиэводные, наприиер d2v. Так, соотношение
d2v = ^?v,
где V — вектор, позволяет ввести «операторнозначную» или «(jj
тензорнозначную» 2-форму кривизны Si. Введение обобщенной внешней производной позволяет по-новому взглянуть на старый аппарат базисных векторов и параллельного переноса и дает способ нахождения 2-формы кривизны Si.
Представим векторное поле V в виде разложения по некоторому полю базисных векторов
V = вці;»*.
Тогда внешняя производная этого вектора равна
dv = deni?1* + вц dp»*.
Каждую векторнозначную 1-форму deM также представим в виде разложения
de,i=ev«>V (14.14)
Здесь «компоненты» Wvll в разложении de^ являются 1-формами. Напомним, что, согласно соотношению (10.13), <о\ связаны с коэффициентами свявности выражением
(Ovll=TvUjti)^. (14.15)
8) определение в общем случае
2
426 14. Вычисление кривизны
2-формы кривизны .0Ji^v'-
1) выраженные через d2»
2) выраженные через Wliv
Тензорнозначная 2-форма кривизны SA
Поэтому разложение «вектора» (в действительности «векторнозначной 1-формы») принимает вид
dv = en(di;'*-f (OVv). (14.16)