Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
МОч^-Зг-К <24'3>
Первый член в подынтегральном выражении есть плотность
кинетической, а второй -внутренней энергии жидкости; оба
квадратичны по малым величинам v и р'.
Дальнейшую процедуру квантования можно было бы провести полностью
аналогично тому, как это было сделано для фононов в твердых кристаллах
(см. V § 72). Мы, однако, изберем здесь несколько иной путь,
демонстрирующий некоторые поучительные методические моменты. Рассмотрим
сначала one-
120 СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ [гл. Ill
раторы плотности и скорости жидкости, выраженные через микроскопические
переменные - координаты частиц.
В классической теории плотность р и плотность потока массы жидкости j
могут быть представлены суммами
Р (г) = 2 таЪ (Та- г) , j (г) = 2 Ра6 (Га - Г),
а а
взятыми по всем частицам (га и ра - радиус-векторы и импульсы частиц);
интегралы от этих функций по какому-либо объему дают полную массу и
полный импульс жидкости в этом объеме. При переходе к квантовой теории
эти функции 'заменяются соответствующими операторами. Оператор плотности
имеет тот же вид
р (г) = 2"1а6(га - г), (24,4)
а
а оператор плотности потока
==-т?1Ра6(Ге-Г) + 8(Г''-Г)рЛ> (24>5)
а
где р0 = - ifi\a - оператор импульса частицы1).
Найдем правило коммутации между операторами j (г) и р(г'), взятыми в
точках г и г'; при этом можно, для краткости, рассматривать всего по
одному члену в суммах (24,4-5), поскольку операторы, соответствующие
разным частицам, коммутативны. При раскрытии коммутатора операторы вида б
(гх- г) Vi6 (гх- г') преобразуются следующим образом:
б Оч-г) Vi6 (14-г') = б (гх г) (V6 (г-г')) + б (г,-г) б (г, - г') V,,
где в первом члене (vS(r-г')) означает просто градиент б-функ-ции; ввиду
наличия множителя б (г5-г) в этом члене можно писать в нем (V6 (г-г'))
вместо (V16 (гх-г')). В результате получим
j (г)р (г') -р (г') j (г) = - tip (V6 (г-г')). (24,6)
Введем теперь вместо j оператор скорости жидкости v, согласно
определению,
j = y(t V+vp).
]) Пусть, для простоты, система состоит всего из одной частицы.
Усреднение оператора р(г) = тб(г! - г) по состоянию с волновой функцией
(ri) дает J -ф* (rj рг|) (г,) d3x1 = m | г|> (г) |2, как и должно быть.
Аналогичным образом, усреднение оператора j (г) дает правильное выражение
плотности потока (й/2i) {г|з* (r) V"Ф (Г)-^ (г) Vf* (г)}.
§ 24]
ФОНОНЫ в жидкости
121
Правило коммутации операторов р и v определяется требованием, чтобы для
коммутатора р и j получалось выражение (24,6). Легко проверить, что для
этого надо положить
v (г) р (г') - р (г') v (г) = - i% (v6 (г-г'))
(при этом надо учесть очевидную коммутативность операторов р (г) и
р(г')). Наконец, положив v(r) = Y<p(r), получаем правило коммутациии
между операторами плотности и потенциала скорости
Ф (г) р' (г') -Р' (г') Ф (г) = - (г-г') (24>7)
(вместо р можно, конечно, писать здесь оператор р'= р-р0 переменной части
плотности). Правило (24,7) аналогично правилу коммутации между
координатой и импульсом частицы; в этом смысле величины р' и ср играют в
данном случае роль канонически сопряженных обобщенных
"координат"и"импульсов".
Использовав выражения (24,4-5) для установления правила
(24,7), напишем теперь операторы ср и р' в представлении вторичного
квантования (т. е. выразим их через операторы уничтожения и рождения
фононов), потребовав при этом, чтобы они удовлетворяли правилу (24,7).
Для этого пишем
V = 17тГ ? (^kCkelkr + Акс?е~СУг)
Уу и
с пока не определенными коэффициентами Лк; суммирование производится по
всем значениям волнового вектора, пробегаемым для жидкости в большом, но
конечном объеме У1). Операторы Ск, с к удовлетворяют бозевским правилам
коммутации
Ск ^к' Ck'Cfe = бц". (24,8)
Напомним для дальнейших ссылок, что отличные от нуля матричные элементы
этих операторов
<пк - 1 |ck|ttk> = <ttk|ck|rtk - 1> = К"к. (24,9)
где щ - числа заполнения фононных состояний.
В дальнейшем нам понадобится, однако, не шредингеровский оператор ф(г), а
гейзенберговский ф(^, г). Он получается из Ф (г) просто путем введения
множителей exp (±iW) с частотами
J) В отличие от ^-операторов частиц, оператор вещественной величины <р
эрмитов и содержит одновременно операторы рождения и уничтожения фононов.
Напомним, что это свойство (как и такое же свойство операторов поля в
квантовой электродинамике) связано с несохранением числа "частиц" в фо-
нонном поле.
122 СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ [гл. III
co = uk в каждый член суммы
(Акске' <kr-*"'> + ЛкС+ке-г<кг-^))
У V к
(ср. сказанное по этому поводу для ^-операторов в начале § 9). Оператор
же плотности р'(t, г) должен быть связан с оператором ф (t, г)
соотношением (24,2) и поэтому дается такой же суммой с множителями
iAkp0k/u вместо Ак. После этого множители Аь надо определить так, чтобы
выполнилось правило коммутации (24,7). В результате получаются следующие
окончательные выражения:
Ф(*.' г) = Е(-2^г)1/2 (ске*
Р' V, г) = 21 ( w)1/2 (ьг-ло - <кг-"*о).
(24,10)
Действительно, подставив эти выражения в левую часть правила (24,7), с
