Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
В чрезвычайно интересной статье «Sur un theoreme de geometrie», опубликованной в 33 томе «Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo» незадолго до его смерти, Пуанкаре показал, что одна геометрическая теорема, доказанная им в частных случаях, дала бы нам ответ на некоторые нерешенные вопросы, касающиеся периодических движений. Особенности метода, с помощью которого я вскоре после этого получил общее доказательство ее справедливости1, а также динамическое происхождение самой теоремы навели меня на мысль о даваемом здесь обобщении.
§ 2. Формулировка теоремы. Пусть г, $ означают полярные координаты в плоскости, так что г = а > 0 будет уравнением круга С радиуса а. Наше внимание будет занимать двусвязное кольцо Д, ограниченное кругом С и кривой2 Г, окружающей <7, а также второе такое кольцо Ri ограниченное тем же кругом С и подобной
¦'^Proof of Poincare’s Geometric Theorem, Transactions of the American Mathematical Society, 14; или см. перевод в 42 томе Bulletin de la Soclete Mathematique de France.
23амкнутую кривую мы определяем как общую границу ограниченного односвязного открытого множества и внутренности дополнительного множества. Кольцо есть область, ограниченная двумя замкнутыми кривыми, одна из которых лежит внутри другой. Если эти кривые не имеют общих точек, то кольцо является двусвязным открытым множеством. До § 8 мы не будем рассматривать никаких других типов колец.
290
Приложения
же кривой Гх. Кольца R и Ri мы будем считать связанными однооднозначным прямым(1) непрерывным точечным преобразованием Т, переводящим R в R±. Таким образом, мы можем написать:
С = Т(С), Гх = Т(Г), Яг = T(R), с = Т~г(С), Т = Т~1(Г1), R = T~1(R1),
где смысл обозначений ясен.
Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре, которое мы здесь установим, формулируется так.
Теорема. Если Г и имеют с каждым радиальным лучом 'д = const не более чем по одной общей точке и если Т переносит точки на С и на Г в противоположных угловых направлениях в их новые положения на С и на то либо в общей части R и Ri имеются две различные инвариантные точки преобразования Т, либо в R (или в Ri) существует кольцо, опирающееся на С и преобразуемое посредством Т (или Т-1) в часть самого себя1.
В формулировке Пуанкаре границы Г и совпадают, а второй возможный случай исключен посредством предположения о сохранении интеграла
JJ Prdrdd (Р> 0)
при преобразовании Т.
Ценность устранения условия совпадения кривых Г и Г1 явствует из того, что обобщенная теорема может быть применена для установления существования бесконечного множества периодических движений вблизи устойчивого периодического движения динамической системы с двумя степенями свободы. Далее, из этого сразу вытекает существование движений, которые сами не периодичны, но являются равномерными пределами периодических движений. Действительное существование таких квазипериодических движений, насколько мне известно, до сих пор не было доказано2. В настоящей работе я не рассматриваю этих динамических приложений.
1 Ограничения, накладываемые на кривые Г и Гх, могут быть смягчены. А именно, от этих кривых можно только требовать, чтобы они были «достижимы справа» и «достижимы слева» в том смысле, в каком эти термины определены в моей статье «Surface Transformations and their Dynamical Applications» в томе 43 Acta mathematica (см. также главу VIII этой книги. — Ред.). Однако менее общая, но более простая теорема, сформулированная в тексте, достаточна для иллюстрации того же типа обобщения и оказывается удобной для динамических приложений.
2Известные исследования Г. Бора доставили нам аналитическое представление таких движений. См., например его работы: «Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen», Acta mathematica, т. 45; «Einige Satze liber Fourierreihe fastperiodischer Funktionen», Mathematische Zeitschrift, т. 23. (На русском языке см. книгу Г. Бора «Почти периодические функции» из серии «Современная математика». —Ред.)
Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре 291
Стоит также отметить, что обобщенная теорема не предполагает инвариантности интеграла по площади и, таким образом, по существу относится к области analysis situs. Кроме того, в ней устанавливается существование двух различных инвариантных точек, в то время как до сих пор не была исключена возможность единственной инвариантной точки.
Остающийся открытым вопрос о возможности n-мерного обобщения последней геометрической теоремы Пуанкаре мы сейчас вкратце обсудим. Исследование аналитических свойств движений вблизи данного устойчивого периодического движения динамической системы с п степенями свободы и свойств соответствующего преобразования Т, порождаемого этой системой, по-видимому, указывает на существование бесконечного множества близких периодических движений. Теорема Пуанкаре оказывается лишь качественным выражением существенных элементов аналитического положения вещей при п — 2; и, в действительности, частный случай, рассмотренный Пуанкаре, достаточен тогда для динамических приложений1. Чтобы придти к надлежащему n-мерному обобщению теоремы, необходимо определить качественно существенные элементы n-мерной аналитической проблемы. Это, вероятно, может быть сделано простым путем.
