Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
pfm1m2 , т0т2\ ^ п, J 1,1^
w -Л—+—)у-Мр\я+а)
[см. формулы (7)]. Но в рассматриваемом случае г о и п превосходят р — г и, следовательно, р/2. Это приводит к первому из доказываемых неравенств.
Вместо того, чтобы продолжать наше исследование аналитическим путем, заметим, что это неравенство можно рассматривать как равносильное требованию, чтобы частица двигалась вдоль оси р под действием силы, направленной к началу координат и не превосходящей силу тяжести, вызываемую массой, равной SM. Но в этом случае очевидно, что частица будет удаляться в бесконечность при условии, что начальная скорость, направленная от начала координат, будет не меньше скорости при падении из бесконечности под действием притяжения такой массы. Но это как раз и есть то, что требуется доказать.
Нужно отметить, что поскольку начальное значение величины р не меньше, чем 2М2/ЗК, то р продолжает оставаться все время больше этой величины, и, следовательно, одно и то же расстояние г остается всегда наименьшим из трех расстояний.
Мы собираемся теперь соединить вместе эти результаты и доказать, что если минимум R0 достаточно мал, то R и р будут безгранично возрастать. Качественное основание этого рассуждения очевидно. Согласно тому, что было уже доказано, для R* и i?*', сколь угодно больших, мы можем выбрать Rq столь малым, что все движения, для которых минимум R не превосходит i?o, соответствуют функции R, которая возрастает от своего минимума до R* и имеет при R = R* производную, не меньшую чем R*1. Это означает, разумеется, что р* сколь угодно велико, потому что
7? 1 V
lirn — = —— (m0m2 +mim2)h,
R=oо V м Ь
Проблема трех тел
279
причем стремление к пределу равномерно. Кроме того, так как мы имеем соотношение
RRr — mrr* + ррр', то, очевидно, что рр' должно быть велико и, в частности, \р'\ должно быть велико при условии, что \rrf\ равномерно ограничено. Но мы имеем
r>2 <:x'2 + y'2+z12 <Ц[, благодаря интегралу энергии (12). Отсюда:
2 (2 / 2(ш0Ш1 + Ш0ш2 + Ш1Ш2)г ^ 2М2г гг < т < Ш*
вследствие того, что га превосходит половину наименьшей массы га*. Таким путем находим
к I < -
кЪт*Ь
Следовательно, мы показали, что \гг’\ равномерно ограничено.
Если для / > 0, if > 0 мы возьмем Rq достаточно малым, то всякое движение, при котором наши три тела настолько сближаются, что в некоторый момент R ^ Rq, таково, что два из расстояний го, неограниченно возрастают вместе с t, тогда как третье Г2, остается М2
все время меньшим ——.
O-tV
Мы не будем останавливаться на получении аналитической формулы, дающей Rq, хотя полученные выше результаты дали бы нам достаточный материал для вывода этой формулы.
Мы хотим в заключение остановиться на одном интересном вопросе, возникающем в связи с приведенными выводами. Вопрос заключается в следующем: которое из трех тел будет удаляться безгранично от двух других в случае близкого приближения к тройному столкновению? Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.
Всякое движение рассматриваемого типа характеризуется тем свойством, что в продолжение всего движения одно и то же тело (скажем Р2) остается на относительно далеком расстоянии от других двух ближайших тел.
В справедливости этого утверждения легко убедиться. В начале этого параграфа мы показали, что для R, большего или меньшего некоторых определенных величин, отношение наибольшего из расстояний к наименьшему будет как угодно велико. Следовательно, мы должны рассмотреть только промежуточные значения. Но в этих пределах, если бы отношение наибольшего расстояния к наименьшему не оставалось большим для достаточно малого Rq, существовали бы конфигурации трех
280
Глава 9
тел, при которых расстояния и отношения ri/vj лежали бы между некоторыми постоянными границами, каким бы малым мы Р0 ни выбрали. Однако в таких конфигурациях величина U не превосходит некоторого количества, и, следовательно, согласно интегралу энергии (12) то же было бы справедливо относительно скоростей ж', у!, z', 7/, С/.
Наконец, очевидно, что RRf не могло бы превзойти некоторую определенную величину. Но мы установили уже, что R' становится сколь угодно большим в таких пределах значений Pi, так что мы пришли к абсурду.
В этой области, очевидно, требуются еще дальнейшие исследования, целью которых должно быть более точное определение количественного характера движений; но доказанных здесь фактов достаточно для того, чтобы установить, что единственный случай, при котором возможно одновременное близкое приближение всех трех тел при данных / > 0, К > 0, будет тот, когда эти тела ведут себя, как пара тел, одно из которых соответствует ближайшим двум телам Р0 и тогда как другим является Р2. Движения тела Р2 и центра тяжести тел Р0 и Pi, будут в этом случае происходить по почти гиперболическим путям, тогда как Р0 и Pi будут двигаться относительно их центра тяжести по почти эллиптическим орбитам.
§9. Результат Сундмана. Сундман показал (цитировано выше), что при данных начальных координатах и скоростях таких, что / > 0, К > 0, величина R(t) для соответствующего движения будет всегда превосходить некоторую определенную положительную константу. Это обстоятельство является очевидным, если мы примем во внимание результаты § 8. В противном случае, мы имели бы бесконечное приближение к тройному соударению и, следовательно, движение, для которого R' было бы произвольно велико при данном начальном значении величины Р, что, разумеется, невозможно.
