Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10. Приведенное многообразие состояний движения. Перейдем теперь к рассмотрению той системы дифференциальных уравнений, которая получается в проблеме трех тел после применения десяти известных интегралов для понижения порядка системы с восемнадцатого до восьмого. Другими словами, мы считаем, что десяти соответствующим постоянным интегрирования даны некоторые определенные значения и внимание направлено на рассмотрение оо7 движений, соответствующих данной системе значений констант. В последующем мы будем предполагать, что не все постоянные площадей равны нулю и что постоянная энергии положительна, т. е. будем считать, что / > 0, К > 0.
Вектор момента количества движения с составляющими а, b, с определяет направление в пространстве, играющее в последующем из-
Проблема трех тел
281
ложении важную роль. Очевидно, что любые два движения, дающие в некоторый момент одно и то же расположение в отношении положения тел и направления и величины скоростей, но различающиеся только угловым расположением относительно этой оси момента количества движения, будут и в дальнейшем при своем движении различаться только этим. Другими словами, если <р обозначает какую-нибудь угловую координату, фиксирующую расположение системы относительно оси момента количества движения, а щ, ... , щ являются какой-нибудь системой относительных координат, не содержащей у>, то дифференциальные уравнения, определяющие оо7 движений, имеют вид:
^± = и,{ии...,щ) (i = 1........7)
^ = Ф (Ul,...,Ur).
Первые уравнения составляют систему дифференциальных уравнений седьмого порядка, в то время как последнее уравнение позволяет нам определить <р посредством еще одного интегрирования. При желании можно исключить время из этих уравнений, так что система перейдет в систему шестого порядка
dui Ui /. о о ij\
(* = 2,з,...,
Таким образом, с чисто формальной точки зрения система восемнадцатого порядка может быть «приведена» к системе шестого порядка.
С той точки зрения, однако, которую мы примем в дальнейшем, такое приведение (которое, кстати говоря, может быть проведено без нарушения гамильтоновой формы уравнений)1 не представит для нас никакой существенной выгоды.
Рассмотрим расширенное многообразие Mig состояний движения, в котором особенности, соответствующие двойному соударению, устранены методом, изложенным в § 7 этой главы.
Граница многообразия Mig, будет в этом случае состоять из движений, характеризующихся одной из следующих возможностей: одна из координат безгранично возрастает по абсолютной величи-
не; величина R стремится к нулю; постоянная энергии какой-нибудь пары тел Pj относительно их центра тяжести возрастает безгранично по абсолютной величине. Очевидно, что точки, находящиеся на некотором расстоянии от границы, определенной этими тремя возможностями, имеют ограниченные координаты и не все три из их взаимных расстояний малы; благодаря условию, наложенному на энергию,
хСм., например, Whittaker, «Analytical Dynamics», гл. 13.
282
Глава 9
постоянная энергии относительно центра тяжести всех трех тел будет, наверное, невелика по абсолютной величине, а то обстоятельство, что относительные постоянные энергии невелики, означает, что ближайшие два тела скоро должны разойтись на значительное расстояние. Таким образом, либо все координаты и составляющие скоростей ограничены, и ни одно из взаимных расстояний не мало, или же движение близко по времени к такому состоянию и, следовательно, не близко к границе многообразия Мig.
В Mis совокупность всех движений системы может быть представлена как постоянный поток жидкости, причем линии потока соответствуют возможным типам движения. Когда мы фиксируем десять постоянных интегрирования, то мы этим самым сосредоточиваем свое внимание на соответственном потоке подмногообразия Ms вдоль самого себя, в котором линии потока изображают рассматриваемые оо7 движений.
Движения, различающиеся только ориентацией относительно оси момента количества движения, образуют замкнутое однопараметрическое семейство таких линий потока, что их соответственные точки дают замкнутые кривые; другими словами, параметры wi, ... , и7 постоянны вдоль такой кривой, в то время как ip изменяется от 0 до 2тг. В частном случае лагранжевых равносторонних или прямолинейных решений, когда взаимные расстояния остаются постоянными1, соответствующая замкнутая кривая будет сама линией потока.
«Приведенное многообразие Mr состояний движения» соответствует оо7 состояниям движения, определенным системой координат, подобной г/i, ... , г/7.
Очевидно, что в первоначальном многообразии Mis замкнутые кривые, которые дают состояния движения, различающиеся лишь ориентацией около оси момента количества движения, представляют собою оо17 таких аналитических кривых, что через каждую точку проходит одна и только одна кривая. Следовательно, если мы желаем подробнее исследовать особенности М7, то мы должны только изучить особенности Ms. Мы хотим здесь изучить особенности многообразия М8 и, следовательно, Mr в той мере, в какой это нужно для того, чтобы получить следующий результат.
