Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Если / > 0? К > 0? то часть кривой R = R(t) (t, R суть прямоугольные координаты), для которой R < f/2^K^, состоит из конечной дуги, обращенной выпуклостью вниз и имеющей один минимум. Если R = Rq есть этот минимум, то кривая возрастает в обе стороны, пока
Для того, чтобы доказать это утверждение, заметим прежде всего, что когда R ограничено, как указано в начале доказываемого утверждения, то R не может быть равно постоянной величине. В самом деле, если бы R было постоянным, то равенство Лагранжа (15) давало бы U = 2К. Но комбинация равенства Сундмана (16) и формулы (18) с равенством U = 2К дала бы
откуда
причем наклон касательной Rf удовлетворяет неравенству
276
Глава 9
что противоречит ограничениям, наложенным на R. Подобными же рассуждениями мы можем показать, что если Rf обращается в нуль, когда R ограничено, как выше, то R" должно быть положительным. В самом деле, в противном случае мы нашли бы из равенства Лагранжа (15) U ^ 2 К у и отсюда, применяя равенство Сундмана (16) и формулу (18), мы получили бы вышеупомянутое неравенство f2/R2 ^ 2К, приводящее к противоречию.
Если на рассматриваемой дуге имеется точка, для которой R' = О, то в этой точке R достигает абсолютного минимума. По обе стороны от нее функция Н (см. § 5) будет возрастать (или, по крайней мере, не будет убывать) вместе с R, пока мы не придем (при R = i?i) к новой точке, для которой R' = 0. Отсюда получаем
f2 f2
2KRX + ^ ^ 2KR0 +
ill Щ
откуда
/2
2 К >
RoRi5
так как R± > Rq.
В этом случае R действительно возрастает, по крайней мере, до тех пор, пока не превзойдет величину f2/2KRq. Кроме того, пока R остается <С f/2KRo, Н остается не меньше Н0. Из этого следует, что R!2 в каждый момент не меньше выражения, указанного в формулировке доказываемой теоремы, так что теорема в этом случае справедлива.
Случай, когда R! ф 0 всюду на нашей дуге, может быть исключен из рассмотрения. В этом случае Н должно убывать (или по крайней мере не возрастать) с убыванием R. Следовательно, R не может стремиться к нулю, потому что в этом случае Н делалось бы бесконечным. Когда R будет приближаться к своей нижней границе i?o, то Rr будет стремиться к нулю. Отсюда мы заключаем, что сформулированное неравенство для R'2 остается справедливым, если Rq определено таким образом.
Но этот вид асимптотического приближения R к значению R0, когда t безгранично возрастает (или убывает), невозможен. Эту невозможность можно показать следующим образом. Заменим в неравенстве Н ^ Но знак ^ знаком равенства. Таким способом мы определим новую кривую R = R(t), наклон которой для любого R не больше по абсолютной величине соответствующего наклона вдоль первоначальной кривой R = R(t). Следовательно, определенная таким образом новая кривая приближается к оси t медленнее, чем первоначальная, и должна
Проблема трех тел
277
тоже асимптотически приближаться к прямой R = RG, что следует из уравнения Н = Щ. Но дифференцируя это уравнение по t,, получаем:
/*2
2ДД" + Д'2 + 2К - Аг = 0.
R2
Следовательно, когда t стремится к бесконечности, a R, R' стремятся к До, 0 соответственно, то R" будет стремиться к определенному положительному количеству, что невозможно.
Полученные до сих пор результаты можно рассматривать как касающиеся тех движений, при которых все три тела находятся и некоторый момент t = to близко друг к другу, причем их взаимное отдаление измеряется величиной R. Тела будут отдаляться друг от друга, так что R будет возрастать, и при этом весьма быстро (при условии, что R не будет ни слишком велико, ни слишком мало) до тех пор, пока R не станет очень большим.
Мы переходим теперь к выводу аналогичных результатов для того случая, когда по крайней мере одно из расстояний между телами велико. В этом случае удобно пользоваться величиной р вместо R. Нужно при этом принимать во внимание, что в последующем изложении г обозначает все время наименьшее из трех расстояний.
2М2
Если / > 0? К > 0? то до тех пор, пока р ^ , одно и то же
ОЛ
расстояние г2 будет наименьшим расстоянием.
При указанных условиях р будет по крайней мере вдвое превосходить расстояние г2. Следовательно, г0 и ri, превосходят г2, так как р есть расстояние от Р2 до центра тяжести тел Ро и Pi. Но, если г0 и г\ превосходят г2, то одно и то же расстояние г2 все время остается наименьшим.
2М2
В случае, когда / > о, К > 0, получаем для р ^ неравенство
оК
^>_ж.
р
Если для какого-нибудь такого значения р имеем
р ^
р%
то р будет все время увеличиваться; стремясь к бесконечности.
Мы исходим из следующего тождества:
р" + р'2 = + т" + СС" + <?'2 + v'2 + С'2-
Последние три слагаемых левой части представляют собою квадрат скорости точки (?, 77, С)? в то время как р'2 даст квадрат радиальной
278
Глава 9
скорости и поэтому не превосходит величины ?'2 + ц12 + (/2. Из этого обстоятельства и дифференциальных уравнений (10) получаем:
Но выражение в скобках в правой части как раз равно выражению pdU/дп, где производная dU/дп взята по направлению прямой линии, соединяющей Р2 с центром тяжести тел Р0 и Pi- Очевидно, что дго/дп и дг\/дп не могут по абсолютной величине превосходить единицу, и мы получаем:
