Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
и, используя (26)
М"к) = ^с(0) + -^я2. (31)
Таким образом, условие равновесия (29) принимает вид
ян (0) = яс (0) + -Ltf;. (3?)
*) Это предположение выполняется хотя и часто, но не всегда. Теорию легко
построить и без такого предположения.
11 Ч, Киттель
306
ГЛ. 23. СИСТЕМЫ В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Плотность стабилизирующей энергии сверхпроводящего состояния (на единицу
объема вещества) при абсолютном нуле равна
Ди^ии (0) - Uc (0) = ¦ н\.
(33)
Например, экспериментальное значение Нк для алюминия при абсолютном нуле
равно 105 Гс, и следовательно,
П0512
ДU = - " 440 эрг • см-3 (34)
что хорошо согласуется с результатом тепловых измерений.
Мы сейчас покажем, что при конечных температурах нормальная и
сверхпроводящая фазы находятся в равновесии не при равенстве их энергии,
а при равенстве их свободных энергий. Рассмотрим свободную энергию
F (т, Н) = U - то (35)
Ее дифференциал имеет вид
dF - dU - т da - a dx. (36)
Подставив сюда dU - т da-MdHa (см. (24)), получаем
dF = - о dx - М dHa. (37)
При изменении с постоянной температурой и в постоянном приложенном
магнитном поле, создаваемом постоянным магнитом, dx = 0 и dHa = 0.
Следовательно, условие термодинамического равновесия запишется в виде
dF = 0 (38)
В критическом поле Нк(т) сосуществуют две фазы. Если Vc - объем
сверхпроводящей фазы, a VH - объем нормальной фазы, то полная свободная
энергия равна
Е = Е"-у- + Ес^г-; V" + VC = V (39)
Для того чтобы, как требует (38), dF равнялось нулю при независимых
бес-
конечно малых изменениях относительных объемов обеих фаз, должно
выполняться соотношение
Fa (т, Як) = Fc (т, Як).
(40)
Таким образом, при равновесии свободные энергии обеих фаз одинаковы. Из
приведенного выше обсуждения следует, что плотность стабилизирующей
свободной энергии равна
ДЕ = Ен (т, 0) - Ес (т, 0) = -- Н\, (41)
где критическое поле Нк берется теперь при температуре т. Мы
предположили, что свободная энергия нормальной фазы не зависит от
магнитного поля.
Для этой задачи способ А (постоянный магнит) проще, чем способ Б
(соленоид + батарея), так как в первом способе (сверхпроводящая и
нормальная фазы сосуществуют в тепловом равновесии при фиксированном Нк)
относительные объемы этих фаз могут изменяться без того, чтобы магнит
совершил какую-либо работу. В случае с соленоидом для поддержания
фиксированного На = Ни батарее необходимо совершать работу, так как при
изменении относительных объемов двух фаз меняется поток через соленоид.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Состояния линейного полимера
Рассмотрим модельную систему, аналогичную системе магнитных моментов,
рассмотренной в гл. 2. Линейная полимерная молекула представляет собой
длинную неразветвленную цепь, состоящую из небольших одинаковых
химических единиц *)
-R-R-R-R-R- ... -R-R,
где R - повторяющаяся химическая единица. Простейший линейный полимер ¦-
это полиметилен (обычно называемый полиэтиленом), где R обозначает
следующую единицу:
Н
I
-С-.
н
Ординарные связи соединяют соседние повторяющиеся единицы в цепочку.
Можно получить длинные цепные молекулы, которые содержат 10е или даже
больше единиц в каждой цепи.
Будем изображать повторяющуюся единицу полимера R стрелкой -" длиной р,
направленной от "хвоста" к "голове" единицы. Хотя не известно ни одного
полимера с вытекающими из этой модели свойствами, поучительно все же
расмотреть в качестве модельной системы полимер, в котором углы между
связями, соединяющими соседние единицы, могут быть равны с одинаковой
вероятностью либо 0, либо 180°. Допустимыми являются только эти углы.
Иными словами, две единицы R можно представить либо как
Т ~2,
либо как
1
*2
*) Хорошее обсуждение статистических свойств линейных полимеров
содержится в книгах [120-122].
308
ПРИЛОЖЕНИЯ
(здесь стрелки слегка сдвинуты по вертикали, во избежание их наложения
друг на друга).
Состояние полимера из N единиц определяется последовательностью "левых" и
"правых" стрелок, например,
Т ~2 Т ~4 V ... аГ. (1)
Эту линию, образованную стрелками, следует понимать символически.
Расстояние по прямой от "хвоста" молекулы 1 к "голове" молекулы N не
равно Np, как можно было бы ожидать, глядя на линию (1). Оно определяется
величиной
N
г^Т,Рз, (2)
5=1
которая и называется длиной.
Точно так же, как и в модельной системе N элементарных магнитов, здесь
имеется 2^ состояний полимера. Состояния различаются относительной
ориентацией субъединиц. По аналогии с (2.11) классификация состояний,
основанная на длине молекулы, определяется производящей функцией
(- + <-)"• (3)
В данном случае стрелки направлены по горизонтали, так как мы произвольно
выбрали оси химических единиц R горизонтальными, тогда как в магнитной
задаче мы считали оси спинов вертикальными.
Задача 1.1. Средняя квадратичная длина модельного полимера. Показать,
что, если допустить равновероятность всех состояний, то средняя
квадратичная длина введенного выше полимера будет равна
(г2) = Ар2. (4)
Указание. Вычислить
МС1р0(1л))-?р-ч$,рл>- <5)
