Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 22.3. К определению силы, действующей на диполь.
Разложим выражение (1) в ряд. Главный член разложения х-компоненты силы
равен
Fx(r) = q{Ex(r + R)-Ex(r)} =
-Я {Я
дЕх , п дЕх * дх
ду
+ Я|
дЕх
dz
}• (3)
СИЛА. ДЕЙСТВУЮЩАЯ на ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ диполь
291
Согласно уравнению Максвелла в статическом поле rot Е - 0 и,
следовательно,
дЕг
дЕ
у.
дЕ,
дЕ,
ду
дх
дг
дх
(4)
Таким образом, дг-компоненту силы, действующей на молекулу, можно
записать в виде
откуда
( dEt дЕа дЕ, )
с / \ п дЕ дЕ х ( ) ~ 9 ~дх~ = Р
дх
(5)
(6)
В выражение для силы входит дипольный момент и градиент электрического
поля.
Такова сила, действующая на молекулу со стороны приложенного
электрического поля. В этом воображаемом эксперименте мы можем
представить себе такую же по величине, но
Фшсированный заряд, источат
электричество поля
-(r)-
/|\
X
Рис. 22.4. К определению работы, совершаемой над диполем.
Диполь притягивается фиксированным зарядом и движется по направлению к
нем/. Работа, совершаемая над диполем подвешенным грузом, равна
Вх
¦¦ - ^ р dE.
О
противоположно направленную силу, а именно, силу, которую нужно приложить
к диполю, чтобы удерживать его в состоянии покоя в точке г или
квазистатически переместить из бесконечности в г. Посредством этой силы
F' = -F, (7)
внешнее механическое устройство (например, груз на рис. 22.4)' совершает
работу над диполем или же диполь совершает работу над ним.
10*
292
ГЛ. 22. СИСТЕМЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
Работа, совершаемая при перемещении диполя в электрическом поле
Работа, совершаемая внешним устройством при перемещении диполя из
бесконечности в точку во внешнем электрическом поле, определяет работу WA
в способе А. Эта работа равна интегралу от произведения силы?' на элемент
перемещения dr:
г, г,
WA = J F' dr = J (F'x dx + F'ydy + F'z dz). (9)
oo oo
Используя для F'x выражение (8) (и аналогичные соотношения для F' и F'z),
получаем для работы, совершаемой над диполем:
(Ю)
где 0 - напряженность электрического поля на бесконечности, a Ei - его
напряженность в точке г(. Такова работа в способе/!.
Работа, совершаемая при поляризации диполя в нулевом поле
Поставим теперь другой вопрос: какую работу нужно совершить, чтобы
поляризовать диполь в нулевом внешнем электрическом поле? Это работа,
совершаемая в способе Б. Можно представить себе непрямой процесс,
позволяющий осуществить такую поляризацию. В этом процессе работа,
совершаемая над диполем, целиком переходит в его внутреннюю энергию (в
данном случае энергия взаимодействия с внешним полем равна нулю, так как
внешнее поле равно нулю). Вычисление работы производится путем
рассмотрения обратимого процесса, состоящего из следующих этапов:
а) молекула переносится из бесконечности в точку Г\ в поле внешнего
заряда; б) дипольный момент pi, существующий, когда молекула находится в
Ги жестко фиксируется при этом значении рй в) фиксированный дипольный
момент pi перемещается из rt в бесконечность, где электрическое поле
равно нулю.
Мы начинаем процесс в нулевом электрическом поле с собственным дипольным
моментом ро (который может равняться нулю) и заканчиваем процесс с
дипольным моментом pi также в нулевом поле. Какова суммарная работа,
совершаемая над диполем в таком процессе?
На этапе а) совершаемая работа равна работе WA, определяемой (10). На
этапе б) никакой работы не совершается. На
РАБОТА ПРИ ПОЛЯРИЗАЦИИ В НУЛЕВОМ ПОЛЕ
293
этапе в) совершается работа при перемещении диполя из поля Ei в нулевое
поле. Эту работу можно найти с помощью (10), приравняв р фиксированному
дипольному моменту pi:
о о
- ^pidE = - Pi ^dE - PiEi. (11)
Ei E,
Нижний и верхний пределы интегрирования соответствуют изменению
электрического поля при перемещении из в бесконечность.
Пусть VPб -суммарная работа, совершаемая над диполем в ходе всех
последовательных этапов а), б), в):
Ei
Wb - W аЛ-^Л- P\Et = - ^ р dEPiE{. (12)
о
Этот результат легко упростить с помощью следующих двух соотношений:
d(pE) = р dE + Edp (13)
и
PiEi Ei Pi
PlEJ d(pE)=\ pdE+^Edp. (14)
0 0 po
Тогда (12) принимает вид
Ei Ei p,
pdE+ J pdE+ J Edp,
0 0 p,
откуда ________________
Pi
Wb- 5 Edp.
Po
(15)
Такова работа, совершаемая при изменении дипольного момента от ро до Pi в
нулевом электрическом поле. Это работа, которая совершается над диполем
способом Б. Отметим, что хотя в приведенной схемы мы оперируем понятиями
поляризационного процесса в нулевом электрическом поле, выражение для
работы содержит электрическое поле, с помощью которого достигается
желаемая поляризация.
Связь между WA, W& и pi, Е\ дается соотношением (12) и иллюстрируется
рис. 22.5. Мы видим, что в соответствии с данными нами определениями WA к
измеряют работу, совершаемую в ходе двух различных процессов.
294
ГЛ. 22. СИСТЕМЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
Пример. Собственный электрический дипольный м о-мент. Предположим, что
молекула не имеет индуцированного момента, а обладает только собственным
электрическим моментом р0. Тогда работа, совершаемая при перемещении
