Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
V. dNо / лг, и N0 - N ' Na )
Теперь у насесть все необходимое для нахождения давления при любом
значении относительной заселенности N/N0. Полученный
jjl! И
1 1 в м р Поршень / Шиш
ill \
тиши Ил
а) б)
Рис. II.I. Сжатие решеточного газа.
Светлые кружки представляют узлы решетки, зачерненные - атомы в узлах
решетки. Пред" полагается, что поршень сжимает только атомы и не
действует на узлы.
результат переходит в закон для идеального газа в случае ма-лой
относительной заселенности. При jV <С No логарифм можно разложить в ряд
и, следовательно,
= - (7)
\dN0)N,u No'
Число узлов N о связано с их концентрацией п0 и объемом V соотношениями
N0 = n0V, -^="о- (8)
Допустим, что число узлов, приходящееся на единицу объема,
постоянно и от объема не зависит.
Тогда, используя (7) и (8), перепишем соотношение (5)' в виде
р/х = (N/Nq) "о = (N/n,V) "о = N/V, (9)
312
ПРИЛОЖЕНИЯ
или
pV = Nx. (10)
Таково уравнение состояния решеточного газа, если между атомами или
узлами нет взаимодействия и если доля занятых узлов значительно меньше 1.
В этой задаче давление обусловлено только увеличением энтропии с
увеличением объема. Кинетической энергии здесь нет. Энтропия стремится
возрасти с увеличением объема, и это стремление ограничивается давлением.
111. Численный расчет химического потенциала ферми-газа
Очень важным является нахождение химического потенциала как функции
температуры. При этом приходится прибегать к численному интегрированию,
которое облегчается в случае применения опубликованных таблиц,
относящихся к распределению Ферми - Дирака [123-125]. Эти таблицы
содержат также величины, требуемые для вычисления энергии и магнитной
восприимчивости.
В гл. 14 мы показали, что число электронов ферми-газа при температуре т
дается формулой
оо со
"-<") = [ "'Я м f (". *> - S к, - '"и + I • (I)
о о
Если число электронов в образце постоянно, то для того, чтобы N имело
фиксированное значение, значение р должно изменяться с температурой. В
этом существо данной задачи. Трудность здесь состоит в том, что решение
не записывается в простом виде, и приходится прибегать к численным
расчетам.
Если записать
3> (е) = Ае'/г, (2)
где константа А определяется соотношением (6), то
оо оо
М = А\(1г г, = Лт3/г \. (3)
J ехр [(е - р)/т] + 1 J ехр (х - ц) + 1 v '
О о
причем для того, чтобы записать интеграл в безразмерном виде, мы ввели
новые переменные
х - е/т, т) = р/т.
Введем обозначение
оо
+ (4)
N 0
1И. РАСЧНТ ХИМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ФЕРМИ-ГАЗА
313
Тогда, согласно (3), химический потенциал р = тр должен определяться
следующим соотношением:
д(т,)==л7^' (5)
В задаче (14.2) мы нашли, что &(еф)= 3N/2eo. Сравнивая это с (2) при е =
еф, находим
Л-Ц;. (6)
2е"
Отсюда следует, что
(7)
Теперь займемся вычислением г]. На рис. III. 1 мы построили график
зависимости •& от г), используя табл. III. 1. Значение еф выражается
через концентрацию электронов
(8)
6ф
- (SnN/Vf'.
2т
На рис. III. 1 приведена зависимость т(т],еф) от р для специального
случая 2/зЕф- = I. Эта величина выбрана для удобства,
100
10
1
0,1
0,01
X \
\
X \ /
л '\
/ ч Ч 2
/ Ш V
/ '*-¦-"х
/
1,5
1,0
0,5
-О О
В 12
/о го 7
о
-0,25
/ оу ,
/ У _У
1 * * у У
/ щ>. У у Ъ
у
> ч
/ / / / у г к
\
О 0,2 0,0 0,0
0,8 1,0
Рис. III.1. График зависимости интеграла Ферми-Дирака ft от т] ( = р/т)
[123]. а также график функции ft~!/3, пропорциональной температуре т.
Рис. III.2. Термодинамические функции ферми-газа.
Графики построены для приведенных энергии, энтропии, теплоемкости и
свободной энергии в зависимости от приведенной температуры; показан также
график отношения классической энергии (r)/2т к 8ф
и ее можно получить соответствующим подбором концентрации. Умножая т] на
т, находим химический потенциал р, зависимость которого от т изображена
графически на рис. 14.9.
314 ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица Ш.1 Интеграл Ферми-Дирака д как функция Т1=ц/Т [123]
Л о Л О Л Л О Л О
-4,0 0,016 0,0 0,678 4,0 5,770 8,0 15,380 12,0 27,951
-3,9 0,017 0,1 0,733 4,1 5,965 8,1 15,662 12,1 28,297
-3,8 0,019 0,2 0,792 4,2 6,163 8,2 15,945 12,2 28,645
-3,7 0,021 0,3 0,854 4,3 6,363 8,3 16,231 12,3 28,994
-3,6 0,023 0,4 0,920 4,4 6,566 8,4 16,518 12,4 29,344
-3,5 0,026 0,5 0,990 4,5 6,7.72 8,5 16,807 12,5 29,696
-3,4 0,029 0,6 1,063 4,6 6,980 8,6 17,097 12,6 30,050
-3,3 0,032 0,7 1,141 4,7 7,191 8,7 17,390 12,7 30,404
-3,2 0,035 0,8 1,222 4,8 7,404 8,8 17,684 12,8 30,760
-3,1 0,039 0,9 1,307 4,9 7,620 8,9 17,980 12,9 31,118
-3,0 0,043 1,0 1,396 5,0 7,837 9,0 18,277 13,0 31,477
-2,9 0,047 1,1 1,489 5,1 8,058 9,1 18,576 13,1 31,837
-2,8 0,052 1,2 1,586 5,2 8,281 9,2 18,877 13,2 32,199
-2,7 0,058 1,3 1,687 5,3 8,506 9,3 19,180 13,3 32,562
-2,6 0,064 1,4 1,792 5,4 8,733 9,4 19,484 13,4 32,927
-2,5 0,070 1,5 1,900 5,5 8,962 9,5 19,790 13,5 33,293
-2,4 0,077 1,6 2,013 5,6 9,194 9,6 20,057 13,6 33,660
