Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
0
Система 1 атом
а) б)
Рис. V11.2. Система, состоящая из одного узла и находящаяся в контакте
с резервуаром.
Энергия связи атома с узлом считается равной нулю, а - узел свободен; б -
узел занят
одним атомом.
узлом равной нулю; при включении в расчет энергии связи полу-чается та же
форма распределения. Большая сумма равна
2, = 1+Л, (1)
где слагаемое X пропорционально вероятности того, что узел занят, а
слагаемое 1 - вероятности того, что он свободен. Таким образом,
абсолютная вероятность того, что узел занят, равна
/ = ТТТ- 0
Отметим, что если А, 4С 1, то / " Я. Фактическое значение к определяется
условиями, при которых газ находится в резервуаре, так как для
диффузионного контакта между решеткой и резервуаром должно выполняться
равенство (см. гл. 5):
X (решетка) = X (газ). (3)
Вычисление X для идеального газа было проведено в гл. II.
Теперь обобщим наше рассмотрение на случай R независимых узлов (см. рис.
VII. I). Тогда
^общ = ад,... azR = (\ +ху*. (4)
Из материала, изложенного в гл. 2, мы знаем, что биномиальное разложение
(О + *)й или (1 + А,)Н обеспечивает возможность один и только один раз
сосчитать каждое состояние системы из R узлов. Каждый узел имеет только
два состояния, а именно О для свободного или • для занятого, которые
соответствуют в большой сумме члену 1 для Х° и члену X для А,1.
324
ПРИЛОЖЕНИЯ
В предельном случае малой заселенности f *С 1 мы видим, что f " Я, т. е.
(n)*=fR = kR (5)
равно среднему от общего числа поглощенных атомов.
Распределение Пуассона касается этого предельного случая.
Можно
переписать теперь (4) в виде
?обШ = (1 + ОД)" = (1 + <">//?)*. (6)
Пусть теперь число узлов R неограниченно возрастает, тогда как среднее
число занятых узлов остается постоянным. (Напомним, что распределение
Пуассона касается редких событий!) По определению экспоненциальной
функции имеем
lim (l +^~У = е{п\
о
так что
Общ '
(lR)n
п\
(7)
(8)
Последний шаг здесь состоит в разложении экспоненциальной функции в
степенной ряд.
Т а б л и да
Значения функции распределения Пуассона Р(п)
(п)пе
п"-{п)
п\
<га>
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1 ? 3 4 2
р (0) 0,9048 0,7408 0,6065 0,4966 0,4066
0,3679 0,1353 0,0498 0,0183 0,0067
р (1) 0,0905 0,2222 0,3033 0,3476 0,3659
0,3679 0,2707 0,1494 0,0733 0,0337
р (2) 0,0045 0,0333 0,0758 0,1217 0,1647
0,1839 0,2707 0,2240 0,1465 0,0842
р (3) 0,0002 0,0033 0,0126 0,0284 0,0494
0,0613 0,1805 0,2240 0,1954 0,1404
р (4) 0,0003 0,0016 0,0050 0,0111 0,0153
0,0902 0,1680 0,1954 0,1755
р (5) 0,0002 0,0007 0,0020 0,0031
0,0361 0,1008 0,1563 0,1755
р (6) 0,0001 0,0003 0,0005 0,0120
0,0504 0,1042 0.1462
р (7) 0,0001 0,0034 0,0216
0,0595 0,1044
р (8) 0,0009 0,0081
0,0298 0,0653
р (9) 0,0002 0,0027
0,0132 0,0363
р (10) 0,0008 0,0053
0,0181
Член с А" в выражении для ^0бщ пропорционален вероятности Р(п) того, что
заняты п узлов. Используя большую сумму в качестве нормировочного
множителя, получаем в предельном случае R -> оо: ,
XnRn 1 _ XnRntxр {-XR)
Р(п) =
ti\ i2^o6m
ni
(9)
VI]. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
325
или, поскольку XR = (/г),
Р(п)
(п)п ехр (- (п)) п\
(Ю)
Это и есть распределение Пуассона.
Особый интерес представляет Р(0), т. е. вероятность того, что ни один из
узлов не занят. Учитывая, что (п)° = 1 и 0! - 1, находим из (10)
Р (0) = ехр (- (и)); In Р (0)
-(/г).
(П)
Таким образом, вероятность нулевой заселенности простым образом связана
со средним числом занятых узлов (/г). Это указывает на простую
экспериментальную процедуру определения (п): нужно просто сосчитать си-
стемы, не имеющие поглощенных атомов.
Величина Р(п) для некоторых значений (п) приведена в таблице, величины
Р(п) для (л)=0,5; 1; 2; 3- на рис. VII.3.
Пример. Неправильный и правильный подсчет состояний.
а. Большая сумма для R узлов не равна
¦Й-общ - 1 Т" X + Я2 +
Pin)
0,6
Ofi
0,2
О
0,0
0,2
<п> = 0,5
+ ХЛ +
+ Г
(12)
3 0
5 п-
<п> -/
Почему?
6. Большая сумма равна
?обш = П + А-Г
= 1 + RX + + ...+XR
= YjS{R' п) ХП'
п=0
(13)
где
g(R, п) =
R\
0,2
О
02
О
О 5 п <п> = 2
1 Ml
/230
0 5
<п>=3
5 п
(R - п)\ п\
Рис. VII.3. Распределение Пуассона Р (п)
, , " для нескольких значений (п).
- биномиальный коэффициент. Заметим, что g(R,n) есть число независимых
состояний системы для данного числа атомов п. Большая сумма является
суммой по всем состояниям, а не по всем энергетическим уровням.
326
ПРИЛОЖЕНИЯ
Задача VII. 1. Распределение Пуассона в молекулярной биологии [127, 128].
Классической простой системой молекулярной биологии является система,
состоящая из некоторых вирусов (называемых бактериофагами) и бактерий Е.
coli В, содержащихся в сточных водах. Вирусы могут размножаться
только внутри бактерии. Вирус
вирус
белковый футляр '
7ЦИК
Оболочка' ^Сердцевина
Нить
¦"Голова'
¦^Хвост"
2000А
проникает в бактерию, как показано на рис. VII. 4, и включается в
деятельность биохимической "фабрики" клетки. Внутри клетки вирус
