Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
области магнетизма и физики твердого тела, обычно обозначают магнитное
поле в вакууме через Я, и мы последуем их примеру. Определим Wb как
работу, необходимую для намагничивания образца в отсутствие приложенного
магнитного поля. По аналогии с (22.15) для способа Б можно написать
я,
MdH
(1)
о
М,
WB= \ НйЖ.
Ж,
(2)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТЫ W Б
30!
Термодинамическое тождество для магнитных систем имеет вид
в способе A dUA - х do + р, dN - Ж dH, (3)
в способе Б dUB = ido + pdN + HdJl. (4)
Эти соотношения связаны с (1) и (2) и подобны (22.21) и (22.22) (здесь
р,- химический потенциал, а не магнитный момент).
Аналогия между магнитным и электрическим диполями определяет физический
смысл Wa¦ В гл. 22 мы показали также, что WB можно найти из работы,
совершаемой при зарядке конденсатора. Нам теперь нужен магнитный аналог
такого процесса, и мы покажем, что WB равна работе, совершаемой при
намагничивании системы в соленоиде.
Определение работы WB
Ток I, протекающий по длинному "пустому" соленоиду, создает магнитное
поле величиной
Н = (5)
где п - число витков на единицу длины. Теперь равномерно заполним
соленоид магнитным материалом. Если А - площадь поперечного сечения
соленоида, то изменение намагниченности ДМ материала вызовет изменение
потока, равное 4яАДМ. Это изменение потока создает напряжение на концах
соленоида, равное
V = -~4n nlA^f. (6)
При длине соленоида / полное число витков составит nl. Ток t совершает
работу, и при этом мощность равна *) -iV. Из (5) и (6) следует, что
совершаемая источником тока работа равна
- i^Vdt = -^4nni(lA)AM = QHAM, (7)
где Q = 1А - объем соленоида. Таким образом, работа намагничивания
единицы объема материала равна ^ НdM, что аналогично величине W в,
определенной с помощью (2).
*) Движущийся против поля заряд Q совершает над внешним устройством
работу -QV; при этом мощность равна -(dQ/di) V или, используа определение
тока i, -iV,
302
ГЛ. 23, СИСТЕМЫ В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Связь Wа с гамильтонианом *)
Собственные значения энергии в уравнении Шредингера с гамильтонианом
26(Н) = ^(р-^ A)2 -psH (8)
являются энергетическими уровнями системы, состоящей из одной частицы с
зарядом q и спиновым магнитным моментом ц3. Здесь А- векторный потенциал
магнитного поля Я, а р - импульс частицы. В Приложении VI
показано, что работа W А рав-
на среднему по ансамблю от 26 {Н) - 26 (0), т. е.
WA = (26(H)-26(0)). (9)
Это соотношение аналогично выражению (VI. 12), полученному для случая
электрического поля. Способ А имеет большое значение при нахождении
работы WA, так как он позволяет установить ее прямую связь с изменением
энергии системы, определенной с помощью обычного гамильтониана атомной
системы. Пусть свободная энергия при использовании способа А равна
РА = иА - та\ (10)
тогда
dFA - dUА - х do - odx - p dN - о dx - Ж dH, (11)
где для dUA использовано соотношение (3). Свободную энергию Fa можно,
учитывая обычное соотношение F = -т In Z, вычислить с помощью
статистической суммы
Z(tf) = ?exp(-E,(tf)/T), (12)
где е,(Я)-собственные значения энергии гамильтониана 26(H).
Рассматривая единичный объем и переходя к скалярным величинам, получаем
из (11)
№)*"-*. <13>
где М - намагниченность и %- магнитная восприимчивость. Задача 23.1.
Зависимость энтропии от поля. Показать, что
оа"-ва."- о"
Это соотношение позволяет найти зависимость энтропии от поля из
температурной зависимости намагниченности.
*) Материал, приведенный в данной части настоящего раздела (см.
соотношения (8) - (13)), изложен на том же уровне сложности, что и
Приложение VI, и поэтому студенты младших курсов могут его пропустить.
СВЯЗЬ VAC ГАМИЛЬТОНИАНОМ
303
Указание. Известно, что для единичного объема вещества
dFА = ц dN - о dx - М dH
(15)
Следовательно,
V <Эт /я, N \ дН /х, я
(16)
Задача 23.2. Идеальный парамагнетик. Показать, что (<??/б/<?//) t,w = 0
для идеального парамагнетика, определяемого как вещество, намагниченность
которого является функцией только Я/т.
Указание. Термодинамическое тождество имеет вид
В задаче 23.1 мы показали, что (да/дН)х, n - (дМ/дт) н, n. Следовательно,
Пример. Стабилизирующая энергия сверхпроводящего состояния. У многих
металлов при низких температурах наблюдается переход из нормального
состояния с конечной электропроводностью в сверхпроводящее состояние с
бесконечной электропроводностью*). В свинце, например, сверхпроводящее
состояние стабильно при температуре ниже 7,19 К, а при более высоких
температурах стабильно нормальное состояние. Насколько мы можем судить по
измерениям, проводимость в сверхпроводящем состоянии бесконечна: в одном
из экспериментов время затухания тока в сверхпроводящем кольце
оценивалось не менее чем в 100 000 лет.
Интересной термодинамической задачей является определение стабилизирующей
энергии сверхпроводящего состояния по отношению к нормальному состоянию.
Эту энергию можно определить прямыми измерениями теплоемкости обоих
состояний в температурном интервале от нуля до температуры перехода Ги.
