Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
(3.17)
(<P*v=c) [/1
Vx [ф */]
Для завершения доказательства коммутативности (3.17) диаграммы (3.16) достаточно теперь сказать, что d естьДифференциальная геометрия и топология
225
естественное отображение (это модный сейчас способ высказать тот факт, что градиент есть тензорный оператор).
ПОЛЯ. Ковариантное векторное поле есть отображение ст : X ох ? T1 (х). Если для каждого касательного векторного поля у ? J1 (M) функция (ст , v): х ->- (стж, ух) дифференцируема, то говорят, что поле ст дифференцируемо: ст ? ^L1 (M). Таким образом, поле ст дифференцируемо в окрестности UcM тогда и только тогда, когда в некотором базисе ег пространства З1 (U) (таком, например, как д/дх1) компоненты Oi — (ст, Єі) являются дифференцируемыми функциями. Можно также определить тензорный пучок S1 (M), элементами которого являются ковариантные векторы Ox в точках х ? М. Тогда (M) есть множество дифференциальных сечений пучка JT1(M). Ясно, что с^дает линейное отображение jF (M) -*¦ ZD1(M).
Тензоры
Взяв два ковариантных вектора а, ? g T1 (х), мы можем определить билинейную функцию а ® ? на парах касательных векторов (u, v) в точке X правилом
(a®?)(u, V) = {а, u)(?, V). (3.18)
Множество T2 (х) = T1 (х) (g) Ti (х) всех билинейных функций, построенных из пар касательных векторов в точке X, можно получить, образовывая линейные комбинации простых произведений типа а 0 ?; это множество называется множеством ковариантных тензоров второй валентности (или ранга) в точке х. Так как зти тензоры можно складывать друг с другом и умножать на действительные числа, то T2 (х) является векторным пространством (размерности п2) над полем действительных чисел R. Базис, состоящий из всех произведений вида получается соответственно выбранному базису Єі в T1 (х). Разложение какого-либо тензора T ? T2 (х) по этому базису
T = TijOii ®й>} (3.19)
определяет компоненты Tij тензора Т. Рассматривая мультилинейные функции касательных векторов, полу-
15 Заказ M 28226
Статья 7. Ч. M и г н е р
чаем ковариантные векторы любого ранга, и разложение S = Shi2.. ЛрФ ® W^ ® ... ® CiiP (3.20)
позволяет получить компоненты Si1..,ір ковариантного тензора S^Tp (X) валентности р
S : (v1; v2, .. ., Ур)х —S (V1, v2, . .., Vp) Є R-
Мультилинейные функции р ковариантных векторных аргументов порождают контравариантные тензоры Tp (х) валентности р; например,
V О и: (а, ?)->(a, v)(?, и> (3.21)
есть элемент T2 (х). Смешанные тензоры, скажем R?T\ (х), с компонентным представлением
R = R^ei ^ Qj ^cah (3.22)
также являются мультилинейными функционалами R:(а, р, а, ?, v) =
= RU(а, ег) (?, е}) (со", V) = RUa$jvh. (3.23)
Значение R (а, ?,v) функционала R от а, ?, v есть действительное число, называемое сверткойІ- тензора R с векторами а, ?, v. Когда векторы, используемые в качестве аргументов тензора, имеют достаточно простые наименования, аргументы часто обозначают просто индексами, например
R (а> ?, v) = Ry^;' (3.24)
в более распространенной записи
я К еА) = я? (3.25)
или
Ridyi', dyr, Ъ^) =RiJ. (3.26)
Множество дифференцируемых р раз контравариантных и q раз ковариантных тензорных полей 3q (M) определяется очевидным образом и состоит из всех дифференцируемых сечений соответствующего тензорного пучкаДифференциальная геометрия и топология
227
Компоненты Rh тензора R образуются свертыванием R с подходящим образом выбранными базисными векторами. Поэтому они являются действительными числами (или функциями, когда речь идет о тензорных полях). Вопрос, следует ли считать скаляром (скалярной функцией) каждую компоненту Rl3, является довольно деликатным; ответ на него в большой мере зависит от субъективного предпочтения того или иного набора базисных векторов. Когда дело связано с особо предпочтительными (например, определенными глобально) базисными векторными полями, имеющими уникальные и ценные свойства, тогда скалярная терминология могла бы показаться'привле-кательной (хотя она и не принята в теории групп Ли, где всегда используются глобально определенные, трансля-ционно инвариантные базисы). Однако эта терминология ведет к недоразумениям в случае, когда мотивы, по которым был выбран тот или иной базис, не ясны выбирающему, так что в любой соседней координатной окрестности он может заменить этот базис другим. В этом смысле распространенная практика использования термина «скаляр» по отношению к Rih3 всякий раз, когда базисные векторы (a4, caJ", Єй получены не из системы координат, едва ли заслуживает одобрения, и понятие мирового скаляра, если его нельзя избежать, следует сохранить скорее для функций и чисел, определение которых не зависит от выбора базиса, а не для величин, возникающих в результате этого выбора.
Законы преобразования
При замене базиса е* -> Ьд, в касательном пространстве происходят, очевидно, и соответствующие изменения базисов во всех тензорных пространствах. Законы преобразования компонент тензоров при этом неявным образом содержатся в уравнениях типа (3.22) или (3.25).
Отображение ф : M N индуцирует различные отображения тензоров. В частности, для ковариантного тензорного поля имеем отображение