Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Vі = v [xі] (2.24)
также дифференцируемы. Векторные поля координатного базиса е; = (д!дх') ? З1 (U) также дифференцируемы (поскольку Sfldxi дифференцируемы), поэтому из равенства
ясно, что для дифференцируемости V достаточно, чтобы его компоненты vі были дифференцируемыми функциями.
Отметим, что векторное поле V на M не индуцирует с необходимостью поле на <p (M), если соответствие (2.21) точечное. В самом деле, <p (M) не обязательно должно быть подмногообразием N. Типичным примером такой задачи может служить случай кривой с : R М. На R Дифференциальная геометрия и топология
211
существует стандартное векторное поле е = didt es dl dt. Отображение ф* = с?ф( индуцирует на с (t) вектор с?ф< (е), касательный к с в этой же точке. Но если с самопересекается, так что с (tj) = с (t2), то dq>tl (е) и с?ф(2 (е) не будут, естественно, совпадать.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скобкой Ли, или коммутатором двух касательных векторных полей V1 и v2, называется оператор Iv1, v2], определяемый как
([V1, V2]) [/I = V1 [V2 [/Il-V2 [V1I/]]. (2.26)
Легко видеть, что этот оператор осуществляет линейное дифференцирование в смысле уравнения (2.5), так что мы получили способ комбинировать два векторных поля для образования третьего, Iv1, V2]. Напротив, линейный оператор / —V1 [v2 [/]] не удовлетворяет уравнению (2.56).
ЗАДАЧА. Выразить компоненты W1 вектора w= [u, v] через и' и Vh некоторой координатной системы [см. (2.25)] и показать снова, что w контравариантный вектор, проверив закон преобразования его компонент при изменении системы координат.
Для векторных полей Є; = д Idx1 в любой координатной окрестности имеем
^ eM^ (2-27)
так как частные производные коммутируют. В противоположность этому квантовомеханические операторы момента
ILi = ZljhXj^ (2.28)
образуют совокупность векторных полей на E3, не коммутирующих друг с другом.
Существует сравнительно мало дифференциальных операций, которые можно выполнять над тензорами, не введя метрику или какую-либо другую структуру сверх той, которой обладает само по себе дифференцируемое многообразие. Можно ожидать, что в качестве одной из таких операций скобка Ли будет играть весьма важную роль. Помимо ее использования в теории групп Ли, скобка Ли
17* 212
Статья 7. Ч. Muauep
фигурирует в формулировке (теорема Фробениуса) условий интегрируемости, необходимых для существования подмногообразия, к которому касательны данные векторные поля и, V, . . .; она измеряет изменение векторного поля, индуцированное движением многообразия, порождаемым каким-то другим векторным полем. Справедлива также следующая
ТЕОРЕМА. Если векторные поля V1, V2, . . ., v& линейно независимы в каждой точке и удовлетворяют условиям
[Vil VjI = O,
то каждая точка х содержится в некоторой координатной окрестности (u, xі), в которой
у І = —~г (г = 1, 2, ..., fc</i).
ox1
Эта теорема, доказывать которую мы сейчас не будем, показывает, что координатные системы характеризуются линейной независимостью и уравнениями (2.27).
ПРИМЕР на S2. Пусть (д/дф)д — касательная к кривой
t ¦—>
в точке q ? S2 (т. е. Re q = 0, |g[ = 1). Легко видеть, что векторное поле д/дф дифференцируемо, так как для этого требуется просто, чтобы
была дифференцируемой функцией по q везде, где / дифференцируема. Заметим также, что при q = ±к предыдущая формула дает df/dф = 0, так что д/<9ф исчезает на полюсах сферы. Таким образом, д/дф не может служить элементом какой-либо координатной системы (не является Bidxi для какой-либо системы координат X1X2), покрывающей тот или другой полюс, так как нулевой вектор не может входить в какую бы то ни было линейно независимую совокупность векторов.
Мы получили векторные поля, исходя из систем кривых; теперь мы сделаем обратное. Пусть v — векторное поле. В локальных координатах оно представляется ком- Дифференциальная геометрия и топология
213
полентами Vі (X1, X2, . . ., Xn), являющимися функциями класса С°°. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
4f = с\ ..., сп), (2.30)
которая имеет единственное решение Ci (t; х%, t0), удовлетворяющее начальным условиям
Ci (t0\ х0, t0) = x\. (2.31)
Уравнения
X1 = с1 (t\ X0, t0)
определяют кривую
t —> X = с (t; ха, t0), (2.32)
касательный вектор которой есть v. Решения системы (2.30) могут существовать только для некоторых малых, но конечных значений t — to. Тем не менее кривая (2.32) может быть продолжена, если дифференциальные уравнения, справедливые в двух различных координатных окрестностях, на пересечении этих окрестностей определяют одну и ту же кривую (2.32). Это приводит для каждой точки X0 к единственной максимально связной кривой с касательным вектором v, начинающейся при t = to в точке х0. Вообще говоря, эта кривая определена только для некоторого конечного интервала изменения переменной t, включающего to-
ПРИМЕРЫ.
1. С переменными X, у — стандартными координатами на E2 — связано векторное поле д/дх. На открытом подмногообразии M2 = E2 — (0, 0) кривые (х, у) = (—1 + + t, 0), касательные к д/дх, не могут быть продолжены за пределы интервалов —оо <; f < 1 и 1 •< ? <
