Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
gt Ы = /, * Ы = Qfxг) = ег [/]. (2.9)
Действуя оператором v на уравнение (2.8), получаем
vl/] = v[a:j]ei[/], (2.10)
где были использованы (2.5), (2.9) и тот факт, что производная постоянной равна нулю:
V [а] = 0. (2.11)
[Наш результат следует из уравнений (2.5), поскольку при o = 0 в (2.5а) мы имеем v[a/] = av[/], тогда как из (2.56) при g = a следует, что
у [а/] = / (х0) V [a] + а\ [/] = av [/],
или / (х0) V [а I = 0. Равенство (2.11) верно в силу того, что мы можем положить f (хо) = 1.1
Чтобы доказать эквивалентность двух данных определений касательных векторов, мы должны показать, что любой оператор V касателен к некоторой кривой. Уравнение
xi(i) = xl-^ty [xі]
определяет такую кривую. В уравнении (2.10) числа
vl = \[xi] (2.12)
есть компоненты вектора v относительно базиса ег; поскольку любой касательный вектор можно представить как линейную комбинацию (2.10) векторов ег, мы видим, что векторное пространство T (Xo) касательных в точке X0 векторов является тг-мерным. Используя для этих базисных векторов более конкретное обозначение
¦Кїг-Х; <213> 208
Статья 7. Ч. M и г н е р
можно переписать уравнение (2.10) в виде
где подчеркивается операторный характер v, тогда как запись
V = ViGi (2.15)
дает просто обычное разложение вектора по базису. Если решено перейти к некоторому другому базису то разложение
ЄЙ = ^ftbft' (2.16)
после подстановки в (2.15) дает
V = vkek = vkAkk'bk> = vh'bh-,
определяя таким образом закон преобразования компонент вектора
vh' = Anvh. (2.17)
Хотя базис для T (3?) нет нужды вводить обязательно с помощью координатной системы, отметим, что в случае, когда eh = d/dxh и Ъъ.' =д/дук' являются ортами координатных осей, (2.16) и (2.17) сводятся к классическому правилу
Предыдущий закон преобразования относился к случаю, когда имелось одно фиксированное многообразие и в точке X один фиксированный вектор V, а преобразованию подвергались координатная система и (или) базис T (х). Компоненты v1 вектора v при этом изменялись, хотя сам вектор v оставался постоянным. Теперь мы обратимся к совершенно иной ситуации: рассмотрим два многообразия и отображение между ними ф : M -»- N. Задавая вектор v в точке х ? М, мы определим соответствующий вектор ф#у в точке ф (ж) ? N. Здесь вновь существуют два эквивалентных определения соответственно тому, на какое определение касательного вектора мы Дифференциальная геометрия и топология
209
будем опираться. Если с есть кривая, проходящая через точку X и имеющая касательную v, то <p*c s <рос есть кривая, проходящая через <р (х) = фж; мы определим ее касательную как ф#у и можем при желании убедиться, что ф#у не зависит от того, какая кривая с ? v была использована. Это определение ф# позволяет нам представить себе, как преобразуются векторы, вообразив, как преобразование ф : M -*- N сдвигает точки кривой, вычерчивающей бесконечно малый направленный отрезок, который, как мы видели, изображает v. Несколько более элегантно определение дифференциального оператора ф#у уравнением
(ф#у) [/] = V 1ф * /], (2.19)
или эквивалентной диаграммой
^xK ^ (2.20)
R
которая сводит определение ф# к предыдущему случаю — определению ф*. Ввиду того что преобразование ф# отвечает контравариантному закону преобразования, мы во избежание излишнего обилия символов, начиная с этого момента, будем в дальнейшем обозначать его как ф*; часто используется другое обозначение <іф*, поскольку это отображение является бесконечно малым вариантом ф, отображающим только касательное в точке х пространство, а не все многообразие. Итак,
Ф* = <% : T (х) -> T (ф®). (2.21)
Хотя в общей теории относительности довольно необычно рассматривать одновременно две вселенные с имеющими смысл отображениями между ними, такие преобразования, индуцированные отображениями многообразий, тем не менее возникают. Наиболее часто рассматривается отображение включения для пространственноподобной гиперповерхности. В качестве примера рассмотрим включение
і: S2 —> Es: (хи xz, х3) —> (xt, х2, х3),
14 Заказ № 28 210
Статья 7. Ч. M и г н е р
которое указывает, что тройку чисел нужно понимать не как точку на S2, а как точку E3.
Хотя это отображение может показаться тривиальным, тем не менее отображения, которые оно индуцирует на тензоры различного ранга, позволяет выяснить, когда тензорное поле на многообразии индуцирует тензорное поле (естественным не зависимым от координат образом) на подмногообразии и наоборот. Общее правило состоит в том, что ковариантное тензорное поле на многообразии индуцирует соответствующие поля на подмногообразиях (мы до сих пор имели дело с этим только на примере функций).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное поле v на M есть отображение, ставящее в соответствие каждой точке х касательный в точке X вектор vx:
v.X -> vx?t(X). (2.22)
Мы говорим, что V дифференцируемо, если и только если для каждой дифференцируемой функции/ (ig7 (M) функция
v[f]:x vx[f] (2.23)
дифференцируема. Множество дифференцируемых векторных полей на M обозначается как &1 (M). Заметим, что поскольку координаты х1 есть дифференцируемые функции, то и компоненты любого дифференцируемого векторного поля
