Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 1 р = е'«/2 = cos у а + і sin у а.
(Эти функции определены своими разложениями в ряд.) Очевидно, A(p) i=i, так что ось х в E3 остается инвариантной при этом преобразовании. Для / и к найдем:
А (р) J= (cos ~ а + і sin -і- а^ / (cos у а — і sin — а^) =
= (cos -ja + i sin — a^)2 J = (cos а + і sin a) / = = j cos a jT к sin a, 198
Статья 7. Ч. M и з н е р
аналогично
А(р)к= —/sin а + Arcos а,
так что А (р) при р = ехр (га/2) есть поворот на угол а вокруг оси x. Ясно, что р = ехр (Aa/2) дает поворот на угол а относительно оси z. Произвольный поворот
Z
переведет ОСИ x у и z в положение 12 3.
можно описать углами Эйлера г|), 0, ср; на фиг. 3 изображена тройка координатных осей X у z, повернутая в положение 12 3, описываемое углами Эйлера г|), 0, ср. Этот поворот будет порождаться кватернионом
р = ехр AcpI ехр {у*9} exP {4 } (1-8)
или тремя последовательными поворотами: на угол г|з относительно (фиксированной) оси z, на угол 0 относительно оси і и на угол ф относительно оси z. Рассмотрим кривую
с : R^ Ss :t-*exр { -уАг} , (1.9) Дифференциальная геометрия и топология
199
проходящую при / = О через точку 1 Є S3 и удовлетворяющую условию с (t -{- 4л) = с (t). При отображении р -*-—>- доР сферы S3 на себя эта кривая преобразуется в кривую, проходящую через q0, именно в р (t) = = д0 ехр (—Jetl2). Беря различные qo на S3, мы получим семейство кривых, причем через каждую точку Ss проходит по крайней мере одна из них. Одним из интересных свойств этого семейства кривых является то, что оно левоинвариантно, т. е. если каждую кривую р (t) преобразовать посредством умножения слева, р (t) —>--*- qp (t) с фиксированным q ? S3, то мы вновь получим то же самое семейство. Еще более удивительным свойством является то, что никакие две прямые семейства не пересекаются; самое большее, чего можно добиться, это того, что они совпадут после подгонки значения параметра (i—t— to). Доказать это можно, опираясь на тот факт, что каждая кривая р (t) = q0 ехр (—Jet/2) удовлетворяет дифференциальному уравнению
IT=-TPk' (1-1°)
решения которого, как известно, определяются единственным образом начальными условиями р = q0 при
t = t0.
Для того чтобы лучше представить себе это семейство, отождествим элементы группы SO (3) с теми ориента-циями твердого тела (ориентация, характеризуемая осями 123, фиг. 3), которые тело приобретет в результате соответствующих поворотов иа некоторой исходной ориентации. Тогда, еслир движется по кривой р = р0 ехр (—Jet/2) (t возрастает), то соответствующее вращение А (р) движется по SO (3) таким образом, что на фиг. 3 меняется только г|) [ср. с (1.8)]. Когда t изменяется на 2л, А (р) возвращается к своему первоначальному значению А (—ро) = А (ро), а когда t возрастает на 4я, р завершает петлю в начальной точке ро¦ Поскольку углы Эйлера 0 и ф не меняются вдоль этой кривой, то различные петли в S3 можно задавать расположением 3-репера на фиг. 3, т. е. точкой на S2. Каждая точка р на S3 соответствует определенному повороту А (р) и определенной ориентации осей 123 на фиг. З, в частности определенному положению 200
Статья 7. Ч. M и г н е р
q ? S2 a E3 единичного вектора, направленного вдоль оси 3. Таким образом, мы определили дифференцируемое отображение
it: Ss ¦—> S2: р —> q = ркр-1. (1.11)
Для каждого фиксированного q ? E2 множеством точек я-1 (q) на S3, отображающихся в q, является окружность S1. (Это отношение можно описать, сказав, что я представляет S3 как пучок над S2 со слоем S1.)
До сих пор мы не вводили каких-либо координат на рассматриваемых многообразиях; однако возможность покрытия любой достаточно малой области многообразия некоторой системой локальных координат является существенной и характерной чертой дифференциального многообразия. Я проиллюстрирую понятие локальных координат на S2. Во-первых, заметим, что в общем случае невозможно ввести одну координатную систему на всем многообразии сразу. Точки сферы S2 часто определяют с помощью угла широты 0 и угла долготы ф, так что стандартная метрика на S2 записывается в виде
ds2 = dQ2 + sin2 0 гіф2. (1.12)
Эта попытка обойтись всего одной координатной системой удобна, когда геометрия многообразия настолько хорошо знакома, что можно не обращать внимания на очевидные формальные трудности, такие, как сингулярности
?фф = (sin 0)~2 —> CX)
при
Є—S-Ot- л.
Но когда в разрешении трудностей, связанных с вопросами дифференцируемости, приходится полагаться в большей мере на формальную математику, чем на интуицию, мы должны ограничить понятие координатной системы таким образом, чтобы компоненты дифференцируемого тензорного поля всегда были дифференцируемыми функциями. Тогда первейшим требованием к выбору координат будет дифференцируемость функций, что не имеет места ни для 0, ни для ф в полюсах сферы, 0 = 0, я.
Так как точка х Є S2 есть тройка x1, x2, х3 действительных чисел, то мы можем определить три действи- Дифференциальная геометрия и топология
201
тельные функции правилами
