Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРЕМА 7. Если тензор Риччи для Vn (р, q) равен нулю, то Nk --Ф 1.
Некоторое обобщение работ Томаса на классы погружения > 1 дал Аллендорфер [20]. Он рассматривал только Vn, но его результат несомненно допускает обобщение и на Vn (р, q). Он доказал следующую теорему:
ТЕОРЕМА 8. Если в каждой точке в Vn первое нормальное пространство имеет размерность q, а тип > 3, то Vn допускает погружение в En+q.
Первое нормальное пространство определяется следующим образом. 'Предположим, что Vn уже погружено В некоторое Еп+Р (р > q) [это всегда возможно при р = = 1I2 п (п — 1)] и задается там уравнениями у1 = у1 (Xа). Тогда первое нормальное пространство есть векторное пространство, образуемое векторами Y0р с компонентами 188
Статья 6. А. Фридман
V і _ ЭУ г у дуі
0? ~ to« cteP lap^r' Определение типа довольно сложно. Тип всегда [n/q]. Так как в теории относительности п = 4, то теорему 8 можно применить только в случае q = 1. Таким образом, ее полезность сводится просто к достаточному условию для равенства класса погружения единице.
Мы закончим примером, когда Nh Ф Nh при к Ф h. Напомним сначала следующий факт (см. [16]).
Если Vn (р, q) имеет постоянную кривизну, то его класс погружения равен 1, т. е. существует пространство En+l (г, s) с г > р, S > q, такое, что Vn (р, q) (локально) изометрично части гиперсферы в Еп+1 (г, s). Поэтому N = = min o<fc<ft0, Nh = I-
Возьмем теперь Vn с постоянной отрицательной кривизной. Как доказал Либер [21], Vn допускает погружение в Z?2n-ii но не в Е2п-2, т. е. -ZV0 = п — 1, тогда как N = 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nash J., Ann. Math., 60, 383 (1954).
2. К u і р е г N. H., Ned. Acad. Wetensh. Proc. Ser., A58-Indig. Math., 17, 546, 683 (1955) [перевод см. в сборнике «Математика», 1, 3, 17 (1957)].
3. Nash J., Ann. Math., 63, 20 (1955).
4. Blansula D., Monatsh. Math., 59, 217 (1955).
5. G h e r n S. S., K u і p e г N. H., Ann. Math., 56, 422 (1952).
6. O t s u k і Т., Proc. Japan. Acad., 29, 99 (1953).
7. T о m p k і n s C., Duke Math. Journ., 5, 58 (1939).
8. Otsuki T., Math. Journ. Okayama Univ., 3, 95 (1954).
9. Otsuki T., Math. Journ. Okayama Univ., 5, 95 (1956).
10. Janet M., Ann. Soc. Polon. Math., 5, 38 (1926).
11. Gartan Ё., Ann. Soc. Polon. Math., 6, 1 (1927).
12. Бурстин С., Мат. сборник, 38, 74 (1931).
13. Friedman A., Journ. Math. Mech., 10, 625 (1961).
14. Rosen J., Ph. D. Thesis, Hebrew Univ., Jerusalem, 1964 (будет опубликовано).
15. F u j і t а n а Т., I k e d a M., Matsumoto M., Journ. Math. Kyoto Univ., 1, 43, 63, 255 (1961—1962).
16. Эйзенхарт Л., Риманова геометрия, ИЛ, 1952.
17. Thomas Т. Y., Acta Math., 67, 169 (1936).
18. P о з е н с к о н Н. А., Известия АН СССР, 7, 253 (1943).
19. S с h о и t е n J. A., Struik D. J., Am. Journ. Math., 43, 213 (1921).
20. Allendoerf er С. В., Am. Journ. Math., 6t, 633 (1939).
21. Либер E., ДАН СССР, 55, 291 (1947).
22*. Де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, ИЛ , 1957, 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Ч. M и зне р
(Лекции, прочитанные в 1963 г. в летней школе теоретической физики при Гренобльском университете, Лез-Уш, Франция)
Ch. Misner, in «Relativity, Groups and Topology», ed by C. DeWitt, В. DeWitt, New York — London, 1964, p. 881
Введение
Мои лекции будут посвящены главным образом изложению с несколько новой точки зрения начал дифференциальной геометрии и в простейшей форме — некоторых сведений по алгебраической топологии. Элементы алгебраической топологии появляются в лекции VI, § 6, при изучении методами алгебры вопросов, связанных с дифференциальными уравнениями. В частности, мы докажем тот факт, что в отсутствие источников из уравнения Максвелла для Fliv следует (в топологически евклидовом пространстве) возможность получить Ffiv из векторного потенциала.
О литературе
По теме моих лекций в качестве основных пособий целесообразно взять книги Уилмора [1], Ауслендера и МакКензи [2] и Хокинга и Янга [3] *). Рекомендуется начать чтение первой из них с главы V. Прочитав главы V — VIII, вы найдете очень интересной главу IV, посвященную глобальным теоремам о 2-поверхностях в 3-пространстве. Первые три главы, посвященные локальной теории, трудны для чтения, поскольку в них не используются тензорные обозначения. Нужно отметить, что в книге Хокинга и Янга излагается как теоретико-множественная топология, так и алгебраическая топология.
Поскольку этих книг нет в русском переводе, мы со своей стороны рекомендуем имеющиеся на русском языке монографии [9—23].— Прим. ред. 190
Статья 7. Ч. M и з н е р
Было бы логично изучать эти книги не в том порядке, как они перечислены, а в противоположном. Однако многим будет легче начать с римановой геометрии, математический аппарат которой более знаком, а затем уже перейти к подробному изучению дифференцируемых многообразий, к которым этот аппарат относится, и только после зтого разобраться, как бесконечность и сходимость могут иметь смысл даже тогда, когда не используются локальные координатные системы и дифференцируемые функции. Но при таком порядке нужно быть готовым встретиться с дифференцируемыми многообразиями и окрестностями прежде, чем эти понятия будут аксиоматизированы. Я буду излагать материал именно в таком нелогичном порядке.
