Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Статья 7. Ч. M и з н е р
ниже, оба исходят из стремления представить касательный вектор как некоторый особый математический объект, независимый от выбора координат и в определенном смысле ассоциируемый с той стрелкой, о которой мы только что говорили. В первом определении кривая на многообразии задает некоторое направление-стрелку, а затем сводит ее к бесконечно малому направленному отрезку с помощью перехода к инфинитезимальным свойствам кривой, которые определяются производными первого порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Кривая, проходящая через точку х0 многообразия М, есть отображение с : R-*- M \ t-*- с (t), такое, что с (0) = х0.
Производная функции / вдоль кривой с есть число
(2Л)
Две кривые C1 И с2, проходящие через точку Xo, имеют одну и ту же касательную C1 = Cz тогда и только тогда, когда для всех функций /, определенных в некоторой окрестности ТОЧКИ Xo, имеет место равенство
M/] = C2 [/]. (2.2)
После этих предварительных определений определим касательный вектор В точке Xo как общее свойство всех кривых, проходящих в одном и том же направлении и с одинаковой скоростью через точку X0 (как то определяется функциями /). (Математический прием, применяемый для обобщения некоторого общего свойства на основе многочисленных примеров, представляет собой отношение эквивалентности, такое, как C1 = с2, данное выше.)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Касательный вектор v в точке Xo есть класс эквивалентности кривых, проходящих через X0 и имеющих одну и ту же касательную, т. е.
V= {с I с = C1 I для некоторой фиксированной C1).
Если с 6 V, то мы говорим, что V касателен к кривой с в точке Жо. Касательный вектор v может быть использован в качестве дифференциального оператора для функции /, если определить V [/], производную от f вдоль v, уравнением
у [f] = clfI, cGv. (2.3) Дифференциальная геометрия и топология 205
В силу уравнения (2.2) здесь можно иметь в виду любую кривую, касательная к которой есть v.
Связь приведенного определения с предложенным раньше (компонентно-координатным) можно усмотреть, записав (2.2) в локальной координатной системе х1; если X1 =с\ (t) и Xi = CiIt) —две кривые, то зта запись будет иметь вид
(JLS) (JAs =(JlS) (JA-Л . /2 4)
Ч дхі УХо \ dt Jo V дхі уХо \ dt Jo v ¦ ;
Таким образом, все кривые с одной и той же касательной характеризуются одними и теми же значениями величин (ClxiIdt)0; эта совокупность чисел, связанных с координатной системой Xі, выделяет класс эквивалентности V.
Как дифференциальный оператор тангенциальный вектор V обладает следующими свойствами:
1) оператор V — линейный,
v[af+bg] = av\f] + bv[g]; (2.5а)
2) V определяет «операцию дифференцирования»,
V ug] = / (X0) V [g\ + g (X0) V [/]. (2.56)
Здесь а, Ъ — действительные числа, a /, g — произвольные функции, определенные каждая в некоторой окрестности точки х0. В следующем абзаце это последнее замечание упрощается до «/, g 6 Qp (х0)>>-
Хотя область определения функции часто играет важную роль, нередко бывает удобным игнорировать это обстоятельство. Когда речь идет о локальных проблемах, такой подход становится корректным, если ввести следующее определение:
Две функции Z1 и /2 имеют одно и то же ядро в точке жо, если каждая определена в некоторой окрестности U1, U2 точки x0 и если на окрестности U a U1 П U2 имеем Z1 = /2.
Получим теперь множество ^r (х) ядер дифференцируемых функций в точке X, введя следующее определение: 206
Статья 7. Ч. Muanep
Ядро f дифференцируемой функции в точке х есть класс эквивалентности функций, имеющих одно и то же ядро в точке X. (Мы намеренно используем то же обозначение для ядер, что и для функций, поскольку различие между ними, когда оно важно, будет ясно из контекста.)
Для дифференциальных операторов v, соответствующих касательным векторам, верны, очевидно, аксиомы линейности
(av1 + ьу2) [/] = av1 [/] + bv2 [/]. (2.6)
По этой причине удобно следующее определение: Касательный вектор v определяет линейное дифференцирование на 9р (X), т. е. отображение v : Jf (х) R, удовлетворяющее уравнениям (2.5). Из этого определения, которое, как мы убедимся, эквивалентно предыдущему, очевидно, что касательные в точке х векторы образуют векторное пространство над полем действительных чисел.
Чтобы установить эквивалентность наших определений, введем локальную координатную систему х1. Тогда кривые, проходящие через точку Xo в направлении координатных линий, определяют касательные векторы
Мы хотим через эти дифференциальные операторы ег вычислить V [/] для некоторого данного v, удовлетворяющего уравнениям (2.5). Сначала представим / (х) в форме, позволяющей использовать правило умножения (2.56):
/И = /Ы + 1/И-/Ы ] = і
= /(*о)+ 5 ^ff(xi + t(xi-xi))dt = о
і
= f (X0)+ (Xі —Xi0) tSj f,i(x0 + t (X-X0)) dt, 0
f (X) = I(X0)+ (Xi-Xi)gi(X). (2.8)
Здесь і означает частную производную (в координатном представлении) функции / по ее і-му аргументу, а Дифференциальная геометрия и топология
207
gl (X)= 5 f,l(3* + t(3*-X^))dt
о
удовлетворяет условию
