Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
По историческим причинам подобное обратное поведение закона преобразования названо ковариантным; функции преобразуются ковариантно. В качестве примера объекта, подчиняющегося контравариантному закону преобразования, рассмотрим кривую
с : R—> M : х = с (t).
Эта кривая в М, очевидно, индуцирует кривую ф*с = = фос в N согласно диаграмме
(1.3)
Таким образом, если %>м — множество кривых в M, т. е. множество всех дифференцируемых отображений многообразия R действительных чисел на многообразие М, то мы можем добавить к нашему перечню также кон-травариантный закон преобразования
M^N,
& (M) ?- ff^ (N), (1.4)
"ём —>
Подобная противоположная терминология вызвана тем, что в качестве стандарта определения взято преобразо- Дифференциальная геометрия и топология 195
вание координат, являющихся функциями, вместо того, чтобы взять в качестве основы закон преобразования точек.
После этого экскурса в законы преобразования рассмотрим другой пример: 2-сферу S2. Она определяется как поверхность в трехмерном евклидовом пространстве E3
S2 = {x?E3\\\x\f = x\ + xl + xl = l}.
Дифференцируемые функции на S2 могут быть определены тем же методом, что и таковые на T2. Пусть M будет E3 с выколотой точкой (0, 0, 0); тогда дифференцируемые на M функции определены в элементарном анализе. Определим проектирование
я :^-+5. (1.5)
которое отображает выходящий из начала координат луч в E3 на точку, в которой этот луч пересекает S2. Функция / на S2 называется дифференцируемой тогда и только тогда, когда nj есть дифференцируемая функция класса Cao на М. В точности так же га-мерная сфера Sn может быть определена как геометрическое место точек х в евклидовом (га + 1)-пространстве, удаленных на единичное расстояние у X Il = 1 от начала координат.
Трехмерная сфера представляет особый интерес, поскольку на ней можно определить структуру группы Ли, которую я опишу в терминах кватернионов. Кватернионом q называется четверка действительных чисел w, X, у, z, которые обычно располагаются следующим образом:
q = W + ix + іу + kz.
Величины і, /, к отмечают расположение чисел в этой строке и позволяют свести алгебраические операции над кватернионами к нескольким основным правилам вдобавок к таким очевидным условиям, как i2 = f--=k2=—l, ij =—ji = к, fk=—kj = i, ki=—ik = j. Сопряженный к q кватернион определяется следующим образом:
q* = w—ix — jy — kz; (1-6)
13* 196
Статья 7. Ч. M и з н е р
с его помощью находят действительную часть кватерниона
Re q = W = ~ (q + ?")
и определяют его модуль I q |
I q [2 S w2 -f- X2 4- у2 + z2 = qq* = q*q.
Каждый ненулевой кватернион имеет обратный, определяемый как q'1=q*/\ q |2 и удовлетворяющий соотношению qq-1 = q~*q = 1. Произведение кватернионов вообще говоря не коммутативно, например, ij = — ji\ поэтому величину, сопряженную произведению двух кватернионов, определяют правилом
(pq)* = q*p*.
Трехмерная сфера S3, очевидно, является геометрическим местом точек, удовлетворяющих требованию
?3={<?|ы=1}-
Пусть р, q ? S31 тогда
I pq I2 = pq (pq)* = pqq*p* = p I q21 p* = I q I21 p Г=l,
так что pq ?S3. (любое действительное число, и тем самым
q I2 коммутирует со всеми кватернионами: р | q
... . . ... =IgIV)-
Кроме того, поскольку q * = так что | q 1 = |g| = l, то и q~l?S3. Таким образом, правило умножения кватернионов определяет на S3 структуру группы. Мы теперь получим группу вращений SO (3) как представление этой .^-группы. Отождествим евклидово 3-прост-ранство E3 с множеством чисто мнимых кватернионов:
?3 = {g]Reg = 0}.
Заметим, что для q ?Е3 квадрат модуля | q | есть как раз евклидова норма:
\q\2 = x2 + y2 + z2, q ? E3.
Теперь поставим в соответствие каждой точке p?Ss преобразование
А (р) :q ->pqp-h (1.7) Дифференциальная геометрия и топология 197
Заметим, во-первых, что это преобразование линейно по q; затем убедимся, что оно отображает E3 на себя: имеем
2Re (pqp-1) = pqp-1 + (pqp'1)* = pqp* + (pqp*)* — = pqp* + pq*p* = p (2Re q)p* = 0,
коль скоро q ? E3. Далее A (p) сохраняет длину в Es, ибо I pqp'11 = I p I • I q I • I /T11 = I q |, поскольку \p\ = \. Преобразование A (p) линейно и сохраняет длину в пространстве E3. Следовательно, А (р) есть ортогональное преобразование Л(р)?0(3). Очевидно, что любую точку PdS3 можно соединить с точкой 1 кривой с (г), но тогда А (с (t)) является кривой, соединяющей А (р) с тождественным преобразованием, так что действительно А (р) ? ^SO (3), т. е. det А (р) = 1,-Простое вычисление, именно
(PiPz) q (Р1Р2Ґ1 = Pi (РіЯР*1) Pi1,
показывает, что отображение
A: S3-+SO (3) : р~+А(р)
является гомоморфизмом
A(PiPz)=A(Pl)A(P2).
Если мы убедились, что A (Ss)= SO (3), т. е. что А отображает S3 на SO (3), то, заметив, что только точкам р = ± 1 сферы S3 соответствует тождественный элемент группы SO (3), мы тем самым докажем, что S3 является двулистным покрытием SO(S). Для того чтобы найти кватернион р в J?3, соответствующий данному вращению из SO(S), рассмотрим операцию А(р), где
