Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
I. Примеры
Мы начнем с определения нескольких дифференцируемых многообразий (аксиомы будут изложены позднее), использующихся в дальнейшем для иллюстрации различных идей по мере их появления.
Структура дифференцируемого многообразия определяется в основном двумя объектами: точечным множеством M и определенным на M множеством действительных функций Gp, которое называется множеством дифференцируемых функций. Аксиомы для дифференцируемого многообразия обеспечивают для M и разумные свойства.
Нашим первым примером является тор T2, или «поверхность пончика». Пусть х = (Xi, х2) есть пара действительных чисел, т. е. точка в евклидовой плоскости E2. Тогда X можно использовать для определения квадратной решетки [х\, являющейся множеством всех точек у = = (Уп У?)-* таких, что и y1 — X1 и у2 — X2 есть целые числа. Точечным множеством для тора является множество, типичный элемент которого есть как раз подобная решетка [х\. Символически мы записываем это так: Т* = {[х]\х?Щ,
где
[х] = {у^Е2\(у1~х1, у2 — х2) = (тп, п)\ m, п= ..., — 1, 0, 1, 2, ...}. Дифференциальная геометрия и топология 191
Данное определение T2 позволяет также определить отображение
п:Е2->Т2\х-^>[х\. (1.1)
Эта строка символов означает, что я есть функция, определенная на E2 [так что я (х) определена для каждой
хг = 2
X11 = -I
Xi=-I X1=O X1=I
Фиг. 1. Отображение л ставит в соответствие точке x в плоскости множество точек, включающее, кроме х, также все отмеченные в каждом квадрате точки. Top T2 содержит ровно одну точку для каждого подобного множества. Этим свойством обладают все точки заштрихованного квадрата, кроме тех, которые лежат на его границе, но мы можем склеить граничные точки А на квадрате [принадлежащие одной и той же структуре я (А)] и аналогично точки Q, сворачивая таким образом квадрат в тор (см. фиг. 2).
точки X из E2] со значениями, заключенными в T2 [так что я (х) при любом X из E2 должна быть некоторой точкой из Г2], именно, функция, которая точке х ? E2 ставит в соответствие величину я (х) = [х] ? T2 (фиг. 1). 192
Статья 7. Ч. M и з н е р
В таких обозначениях на торе можно было бы определить постоянную функцию / (р) = О, записав (R — множество действительных чисел)
f:T2—>R: р-+ 0.
Самими обозначениями подразумевается, что р есть точка [х] из T2.
Теперь мы можем проиллюстрировать примером тензорный закон преобразования, показав, как преобразуются
\S
Ф и г. 2. Квадрат после надлежащего склеивания его границ становится тором.
скаляры при отображении я : E2 —>- T2 (фиг. 2). Пусть / — действительная функция, определенная на T2, f : T2 -*- R. Тогда можно определить новую функцию nj как
nJ:E2->R:x->f(n (х)).
Это определение можно также представить просто в виде диаграммы
так как по принятому соглашению каждая диаграмма считается коммутативной: именно, любые два пути между одними и теми же двумя множествами отвечают одному и тому же преобразованию. В применении к нашей диаграмме это означает, что nj = /оя. Кружок обозначает Дифференциальная геометрия и топология 193
функцию от функции: fog:x-+f(g(x)). Поскольку на приведенной диаграмме f есть произвольная действительная функция, то мы имеем правило я*, ставящее в соответствие каждой (скалярной) функции f на T2 функцию я J на E2; Jtsi есть закон преобразования скаляров, соответствующий я-отображению многообразия E2 на многообразие T2.
Iter В действительности T2 пока что не является дифференцируемым многообразием, поскольку мы еще не знаем, как выделить дифференцируемые функции на T2. На Ei дифференцируемые функции д? [E2) есть функции класса С°°, известные из элементарного анализа: / ? д? (E2) означает, что f (X1, х2) обладает непрерывными частными производными любого порядка. Определим множество дифференцируемых функций на T2 следующим образом:
&(T*) = {f\nJ?<F(E2)}.
Хотя мы позднее и сможем убедиться, что это определение удовлетворяет аксиомам для дифференцируемого многообразия, все же подобный метод введения дифференцируемых функций не является типичным. [Например, если бы мы попытались использовать его для определения комплексной аналитической структуры на T2, то Jf (T2) содержало бы только постоянные, поскольку я*/ периодична, а постоянные являются единственными дважды периодическими аналитическими функциями. ]
Закон преобразования скаляров может быть получен соответственно для любого отображения ф : M N одного многообразия на другое; снова в виде диаграммы
(1.2)
Так как M и N оба есть дифференцируемые многообразия, то тем самым определены соответствующие множества дифференцируемых (Cod) функций Jfr (M) и jF (N).
13 Заказ M 28 194
Статья 7.4. Muanep
Отображение <p : M -*¦ N дифференцируемо, если для каждой f ? Jf (N) имеем ф*/ 6 ^ (M). Это определение сводит понятие дифференцируемых отображений на многообразиях к понятию дифференцируемых действительных функций.
Заметим, что закон преобразования ф* действует в направлении, обратном отображению ф, которое его индуцирует:
M^N, ^r (M) ^ (N).
