Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
133 теоремы Ли — Картана, что является, по сравнению с теоремой 11, более слабым результатом.
2.3. Примеры вполне интегрируемых систем
а) Уравнения Эйлера—Пуассона
i4o)=)4(i)Xo)-feXr, e=eX(i),
описывающие вращение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, содержат 6 параметров: три собственных значения оператора инерции А і, A2, A3 и три координаты центра массг,,г2, г3 относительно его собственных осей. Как показано в гл. 3 (пример 14), уравнения Эйлера—Пуассона гамильтоновы на четырехмерных интегральных многообразиях
Mc= {(ц>,е)etf6: <Aut,e>=c, <е,е> = 1}.
Один интеграл этих уравнений на Mc всегда существует: это интеграл энергии. Таким образом, для полной интегрируемости достаточно иметь еще один независимый интеграл. Перечислим известные случаи интегрируемости.
1) Случай Эйлера (1750 г.); r,=r2=r3=0 . Новый интеграл— <і4о), Лео) — квадрат модуля кинетического момента.
2) Случай Лагранжа (1788 г.): Ai=A2, г, = г2=0. Новый интеграл— ©з—проекция угловой скорости на ось динамической симметрии.
3) Случай Ковалевской (1889 г.): Л,=Л2=2,43, г3 = 0. Интеграл, найденный Ковалевской —
(©,г—(O2S-Ve2)2+(2d),©г—ve2)2; v=r/Az, r2 = r,2+r22.
4) Случай Горячева—Чаплыгина (1900 г.): Ai=A2=AA3, T3=0 и постоянная с=<Аа>, е>=0. В отличне от случаев 1—3, мы имеем здесь интегрируемую гамильтонову систему лишь на одном интегральном уровне Mo.
Отметим, что все перечисленные интегрируемые случаи образуют в шестимерном пространстве параметров Ait г,- многообразия одной и той же коразмерности, равной трем.
Уравнения движения в первых двух случаях подробно изучены с разных точек зрения в классических работах Эйлера, Пуансо, Лагранжа, Пуассона, Якоби. Случай Ковалевской нетривиален во многих отношениях. Он был найден из условия мероморфности решений уравнений Эйлера—Пуассона в комплексной плоскости времени. Случай Горячева—Чаплыгина намного проще: его можно проинтегрировать с помощью разделения переменных. Для доказательства запишем функцию Гамильтона в специальных канонических переменных L, G, I, g (гл. 3, § 2, п. 2.3):
h= + r(-g-sln/cosg+cos/slng).
Рассмотрим каноническое преобразование
L = ох і- р , (i^p, — p2, q, =I-ug, q:r,:l — g.
134 В новых симплектических координатах р, q
H = + г sin qx sin q2).
^A1(P1-Pi) \Рі — Рг Pi-Рг ^iI
Полагая это выражение равным Л и умножая на P1- р2, мы видим, что оно разделяется:
p\l2A3+rpx Sintf1-Ap1 = р\/2А3—гр2 sinq2 — hp2.
Положим
p\l2A3+rpx sin qx — Hpl = T, p23/2A3—rp2sinq2 — Hp2 = T. (5)
Функция Г является первым интегралом уравнений движения. В традиционных переменных со, е она имеет следующий вид:
Y = 2Alf, / = W3(O);+ со=) — ад,«, (v = rM3).
Выпишем замкнутую систему уравнений для изменения рх, р2:
дИ грі • дН тр.
O1=-S— =-COS <7,, P2=- л— = —cos q2,
Рі—Рг aq» Pi—Pi
или, учитывая (5),
• ±yWE)t -2=±УШ), (6)
Pl-Pt И2 Pl-Pi v '
где Ф{z)=r2z2—(Г + Яг—г3/2Л3)2 — многочлен шестой степени. Решения этих уравнений выражаются через гиперэллиптические функции времени. Переменные pi и р2 изменяются в непересекающихся интервалах [а,, ft,] и \а2, Ь2], где а(, Ь{ — соседние корни многочлена Ф(г), между которыми он принимает положительные значения. Если корень а4(&<) кратный, то решение pi(t)-*-ai{bi) при t-*-+оо или t-*—^оо. Кратные корни отвечают случаям зависимости интегралов Я и Г. Ниже рассматривается лишь типичный случай простых корней многочлена Ф(г). Введем угловые переменные фь ф2 mod 2л по формулам
Pi ^ bi d
= Хі==) уф{г) ' (7)
aI "і
В новых переменных уравнения (6) примут следующий вид:
*'-*,(p,(j-p.<»)) (t" = 1'2)' (8)
где pi (г)—действительные гиперэллиптические функции с периодом 2л, определяемые соотношениями (7). Поскольку траектории уравнений (8) на 72={ф,, фгтогі2л}—прямые линии, то отношение частот соответствующих условно-периодических движений равно ті/тг — отношению вещественных периодов гиперэллиптического интеграла
dz
і" U<
J у ФІГ)
135 Этот замечательный факт имеет место и для уравнений задачи Ковалевской (см. [12]).
в) Поскольку уравнения вида (8) часто встречаются при исследовании интегрируемых задач классической механики, мы изучим их более подробно. С этой целью рассмотрим дифференциальные уравнения на Tln=Ijc1,..., дс„тос12л} несколько более общего вида:
xi= j^rr 1 <1<п, (9)
где (J)i =const 0, а /—гладкая (или аналитическая) положи* тельная функция, заданная на Tn. Уравнения (9) имеют инвари* антную меру
mes (D) = I /(х)otjc1a. - • Adxn. Ъ
Меру всего тора Tn обозначим Л. Усредним правые части дифференциального уравнения (9) с помощью оператора
-1 J (•) dxx/\. ..Adxn.
tn
В результате получим уравнения
Vi=Qj = J1-Const (1<і<я). (10)
Предложение 3. Предположим, что существует гладкое (аналитическое) решение R(xі,..., х„): T"-*-R уравнения в частных производных
<з?®>-/-л. (H)
Тогда существует гладкая (аналитическая) замена переменных x приводящая систему (9) к виду (10). <] Такой заменой является преобразование
