Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
С = 0; = -L HnnIvt-, т^ = HnmIv - -L HmmTnv.. (8)
При этом оказывается, что возмущение коэффициента р, определяющего расширение и вращение пучка геодезических, при этом равно нулю, а для «сдвига» а' при выборе в качестве невозмущенной тетрады Киннерсли имеем
Of=-L-^-Sb O-Amm- (9)
2 р* р
Другая возможная калибровка гравитационных потенциалов, описывающих вакуумные возмущения метрики Керра, соответствует равенству нулю скалярных произведений
CuV = t"Vm'v =O (10)
калибровка уходящих волн, или out-калибровка [98]. Калибровки in и out оказываются удобными при рассмотрении динамических возмущений гравитационного поля Керра, причем в первом случае ^ упрощается описание возмущений в окрестности горизонта, a Jb втором — на больших расстояниях от дыры. Дальнейшую задачу построения вакуумных возмущений метрики удается упростить с помощью введения потенциалов Дебая [106].
Альтернативная схема расчетов, основанная на непосредственном интегрировании уравнений для возмущений тетрадных векторов и спиновых коэффициентов, была развита Чандрасекаром [2, 92, 109].
Метод Тьюкольского
Следуя работе [9], обратимся к отысканию возмущений тетрадных проекций тензора Вейля, связанного с тензором кривизны соотношением
C11Vit = R^U-'Ф I^gvt + Фцт? vX—Ovtgub +
Vt ё^ё"*.) > (И)
где
<V=-f Rg^ (12)
бесследовая часть тензора Риччи Rliv-, R = Rllvg"'" — скалярная кривизна. х 68^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
В формализме Ньюмена — Пенроуза тензор Вейля, имеющий 10 независимых компонент, описывается пятью комплексными функциями (1.49), из которых в отсутствие возмущений отлична от нуля лишь 1F2 (1.50). (Возмущения тетрадных проекций тензора Вейля будем обозначать малыми буквами • • • . і|з4 в отличие от невозмущенной величины 1P2.)
Система уравнений Ньюмена — Пенроуза, в которые входят тетрадные проекции тензора Вейля, состоит из одиннадцати тождеств Бианки (первая группа уравнений) и восемнадцати тождеств Риччи для векторов тетрады (вторая группа). Как было показано Тьюкольским [9], для функций \|з0 и \|з4 оказывается возможным получение разделенных уравнений, аналогичных (5.20), (5.23) в электромагнитном случае.
Для вывода уравнения, которому подчиняется возмущение требуются два уравнения из первой группы (уравнения Al и A4 в [51]), куда входят пары \|зо, tyi и возмущенные спиновые коэффициенты v! и о', а также одно уравнение из второй группы (Б2 в [51]), связывающее возмущения и' и о' с величиной tyo- При использовании тетрады Киннерсли для метрики Керра первые два уравнения с помощью соотношений (4.42) — (4.45) можно привести к виду
-у=- Р^2Р3Ф„ + Р4®оР~Чі+ Зх'?2= 4Л J-Lr +
+ Р*22>оР*-2Г1т) , (13)
A P-2P^PiHpo --р=- р*р4і?±ір-Чі + ЗО'?2 = = 4я {-^f- P-^t1P-2Tfm + P-^0P--1Tmm ), (14)
где W2 — невозмущенное значение проекции тензора Вейля (1.50). Уравнение из второй группы для к' и о' принимает форму
S-1^0So'+ l/l/fS-'^+p-V=^. (15)
Для исключения из системы (13), (14) достаточно подействовать на (13) оператором
а на (14) — оператором
pVS>o(p*)~V4
и полученные уравнения сложить. Оказывается, что при этом возникает комбинация слагаемых, содержащих возмущения спино- § 6. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
69
вых коэффициентов у! и а', которая в точности равна левой части (15). Заменяя эту комбинацию на -фо, получаем уравнение второго порядка, не содержащее других неизвестных функций, кроме гро- Воспользовавшись соотношениями коммутации (4.39) — (4.41), приведем полученное уравнение к окончательному виду
' [Р*Р4 (XtlP-eX2 + A^1P-"SDt) P3 + 6?2] яРо = = - 4JxT0. (16) Источник в правой части (16) удобно представить в форме
Т0 = 2Х^, (17))
где введен оператор проектирования
=:= — p3/S [V2~ (XtlP-Y2SD0 + S0P-V2Xtl) p'-'p^mv) +
+ Х±1р~*Х0р*2р№ + 2A0p-4250pm W] S (18)
(смысл индекса 2 будет ясен из дальнейшего).
Аналогичное уравнение для гр4 получается в результате повторения этой процедуры для системы уравнений (А.7), (А.8) и (Б. 10) из [5,1]. _ _ ^
В наших обозначениях будем иметь
[P4P* (A®±ip-e2)0 + X-tf-'Xt) P3 + 6?2] = -AnTxt (19) где источник можно записать в виде
Ti = - 2T^T,V (20) с помощью проекционного оператора
—X-!P-iXtP-1TiW — A D±Ap-*2)tP-1Pt2Tn^m"*] 2. (21)
Уравнения (16) и (19) допускают полное разделение переменных (§ 7), и их решения можно построить с помощью функций Грина. Возникает вопрос: будут ли построенные величины Ip0 и \р4 полностью описывать возмущения гравитационного поля? В случае произвольных невакуумных возмущений (Tliv=^O) для полного описания необходимо 6 вещественных независимых функций (десять компонент /luv минус четыре функции, фиксирующие координатные условия). Вакуумные возмущения (Tliv=O) полностью описываются двумя независимыми функциями (2 состояния поляризации гравитационных волн). Как мы увидим ниже, две комплексные функции гро и гр4 связаны между собой локальным соотношением, так что фактически имеются две независимые функции. Вакуумные возмущения метрики действительно пол- 70
