Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
(21.8)
Переходы второго порядка обусловлены либо двойным скачком одного осциллятора, либо одиночными скачками двух различных осцилляторов ; частоты переходов являются соответственно частотами обертонов + 2 aj или комбинационными частотами + (м,- + и;<) (суммарные частоты) и +(ш; — и,-) (разностные частоты). Для переходов второго порядка необходимо удержать в (21.4) только члены второго порядка из A(q) и B(q); таким путем находим
<и| A (q)\v'y <и'| В (q)\ vy j coCB-
Т AJj ^ I I VJ - 2 > < VJ - 2 ' ^ i vi >
{¦AfT < I ± 1 > < vr 14i’ \ vr ±1 >} X
X {Bjj-<Vj± 1 qj \ Vj у < vr ± 1 [ !«,->}
{Л;у'<»у|?у|»у± 1 ><«/I 1>} x
X {Bjy(Vj± 1 [fy| «;><«/ + 1 | ?;'[»/>}
(21.9)
+ COj + Wj-
где в каждом случае следует брать либо все верхние, либо все нижние знаки. «Тепловые» средние значения, полученные с помощью табл. 28, приведены ниже.
Переходы второго порядка {(v\A(q)\v,y^v'\B(q)\vy}cPm covv-
2 соу
— 2со,
Обертоны
Aj/ Bjj'
le-ViWCjCj-
\CjCj-
ИС-С'
Д ,r Bjr J J
11 11 \e~b'CjCj'
(tOj -f- COj-) 1 Суммарные (_ ш. _ ш.,) j частоты
(03j ш;') ( Разностные
(~COj + CDj-)\ ЧаСТ0ТЫ
(21.10)
§ 21. Разложение опт. параметров и классификация опт. эффектов 241
Если для некоторого конкретного перехода значение, приведенное в (21.8) или (21.10), равно нулю, то мы называем этот переход запрещенным для рассматриваемого оптического эффекта. Поскольку в вышеприведенных формулах мы последовательно пренебрегли вкладами более высоких порядков, то вклад запрещенного перехода не равен нулю, а только аномально мал. Так, если М(/) [см. (21.1)] равно нулю, то применительно к поляризуемости переходы первого порядка + coj запрещены ; тогда для получения конечного вклада мы должны будем перейти к членам третьего порядка в М(Л').
Оптические эффекты могут быть расклассифицированы в соответствии с порядками лежащих в их основе переходов. Так, спектр римановского рассеяния первого порядка состоит из линий с частотами | и+ш/], а спектр ра.мановского рассеяния второго порядка — из линий с частотами \co±_2coj\, \ ы + (ш; + ш,-) \ и |ш + (ш;—«/')!¦ Аналогично если использовать поляризуемость(20.18) для рассмотрения преломляющих свойств, то мы получим дисперсию первого порядка, соответствующую дисперсионной частоте | со j |, и дисперсию второго порядка, соответствующую дисперсионным частотам | 2 ^ \ и I <а;- + ш,-|. С помощью прямого вычисления можно получить интенсивность рамановского рассеяния и дисперсионную формулу первого и второго порядков, подставляя (21.8) и (21.10) в формулы (20.15), (20.16), (20.18) и (20.19). Для кристаллов, однако, имеют место очень жесткие правила отбора, так что значительное большинство переходов является запрещенным. Поэтому мы пс будем рассматривать оптические формулы в явном виде до гл. 7, где они будут подробно выведены специально для кристаллических решеток.
Один интересный частный результат может быть, однако, здесь рассмотрен ; он состоит в том, что поляризуемость первого порядка не зависит от температуры. Так, если в (20.18) отбросить все члены, кроме тех, которые отвечают переходам первого порядка, и вывести «тепловое» среднее с помощью (21.8), то оказывается, что поляризуемость первого порядка равна
{PI? ИЬр. = Ра? (О, Х°) +
= Ра'{0,ХЧ+±2МаЦ)М?®(1-геЩ)[-^-я). (21.11)
j *
Используя явное выражение (16.16) для С,, найдем, что (Р!$(ш)}ср. сводится к не зависящему от температуры выражению
{Р1} Н}ср. = Рпр (0, *°) + 2 ¦ (21Л2)
j i
16 Макс Борн и Хуан Кунь
242
Глава 4. Нвантозомеханическое обоснование
Аналогичным образом находим для антиэрмитовой части (20.19) выражение
W(4p.=i2^(/)^(0x
У
X {е ^ д (со — cDj) — д (со + со,) + д (со + соу) — (5 (со — со,)} С, =
(/) М1>(/) Ш {<5 (со + соj) -д(со- со,)}, (12.13)
которое также не зависит от температуры.
Можно отметить, что для ионных кристаллов следует ожидать особенно больших значений членов первого порядка в разложении ЩХ). Так, рассмотрим идеализированную модель, в которой ионы являются жесткими образованиями, недеформируемыми при смещениях ионов. Математически эту модель можно выразить следующим образом: пусть Zk — атомный номер ядра к, а Ха(к) — его координаты. Допущение о жесткости ионов означает, что каждому ядру к постоянно принадлежат Zk — гк (zk — ионный заряд) электронов с координатами ха(к, s) (s = 1,2......Zk — zk) такими, что