Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
?Hf(g')^o. (2.16')
г'
Обращаясь теперь к определению (2.9), видим, что сумма по g' в левой части (2.16) есть не что иное, как значение (ф при q = 0. Таким образом, мы имеем
Е Г8?'(чН=о = 0. (2.17)
h-= 1
В простой решетке сумма по ft' отпадает (h = h' — I) и
ГГ(q).|,=o = 0. (2.17')
Система уравнений (2.10) представляет собой стандартную математическую задачу на собственные значения: величины и, (q) и L,ha (q, s) суть, соответственно, собственные значения и собственные векторы матрицы Г?“/ (q). Согласно (2.12) эта матрица эрмитова. В линейной алгебре доказывается, что собственные значения таких матриц (Os (q) вещественны. Основываясь на свойстве минимальности потенциальной энергии в положении равновесия, можно доказать также II], что собственные значения со* (q) неотрицательны, т. е. сами частоты со* (q) вещественны. В сочетании с (2.13) отсюда следует
<МЧ) = <М— Ч). (2.18)
т. е. частоты нормальных колебаний суть четные функции квази-вол нового вектора.
При s' = s сумма в левой части (2.11) отлична от.нуля. Ее значение в этом случае можно назначить по произволу. Действительно, из формулы (2.1) видно, что изменение вектора (q, s) на постоянный1 множитель сводится (при заданном векторе смещения Qa) просто к изменению масштаба обобщенных координат т). Далее, система (2.10) однородна и, следовательно, также определяет (q, s) лишь с точностью до постоянного множителя. Выбор последнего есть вопрос удобства. Для дальнейшего удобно сохранить за координатами т) размерность длины. Тогда функции t,h (q. s) должны
382 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
быть безразмерными и условие нормировки удобно записать в виде
2 M*l?ft(q, s)|2 = M. (2.19)
й = i
Здесь М есть масса элементарной ячейки:
м= 2 м»-h — 1
В частности, если массы всех атомов одинаковы, то вектор ?* оказывается единичным:
1&ь(Ч, s)|2=l. (2.19')
Подставляя теперь выражения (2.4') и (2.5') в формулу (2.3) и пользуясь равенствами (2.10), (2.11) и (2.19) мы получаем
я=12 м я Ч s' о I2+ “Hq) I ч (q. s, 012}. (2.20)
q. s
Это выражение формально похоже на энергию системы независимых гармонических осцилляторов, частоты которых равны <as (q). Однако, как уже отмечалось, комплексные нормальные координаты г) (q, s, t) фактически не независимы, а связаны условием (2.2). Последнее, согласно (2.13), можно переписать в виде
11 (q, s, 0 = ti*(—q, s, t). (2.2')
Чтобы представить энергию системы в виде суммы энергий не- ¦ зависимых гармонических осцилляторов, надо выразить комплексные величины т] (q, s, t) через вещественные нормальные координаты так, чтобы условие (2.2') удовлетворялось автоматически. При этом вещественные нормальные координаты, которые мы обозначим через х (q, s, t), должны гармонически зависеть от времени. Мы обеспечим это, подчинив их уравнению (впредь для краткости мы не будем выписывать аргумент t у функции х (q, s, t))
X (q, s)+®2(q, s)*(q, s) = 0. (2.21)
Положим
л(я, s, o=4"{x(q* s)+*(— q- s)+
+1мЬ)[Л(я> s>-i(-q- *>]}• <2-22>
Непосредственно видно, что условие (2.2') при этом удовлетворяется, Заметим, далее, что, согласно (2.21) и (2.22),
Ч(Ч» s. s) + *(— q, S)-
— ш (q, s) [x (q, s) - x(—q, s)]}. (2.23)
НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
383
Подставляя выражения (2.22) и (2.23) в правую часть (2.20), находим окончательное выражение для энергии кристаллической решетки, совершающей малые колебания около положений равновесия:
= {М&{q, s) -f Afft>2 (q, s)x2(q, s)j. (2.24)
q, s
В правой части (2.24) стоит сумма энергий независимых гармонических осцилляторов, частоты которых равны со (q, s), а массы равны М. Координаты этих осцилляторов представляют собой искомые нормальные координаты решетки.
Для перехода к квантовой теории удобно вмеето обобщенных скоростей х (q, s) ввести соответствующие импульсы
Р (q, s) = Mi(q, s). (2.25)
Тогда
s)*2(q> *)}• (2-24')
q. *
Выразим теперь нормальные координаты через векторы смещения. Пользуясь формулами (2.6) и (2.1), мы получаем
Ч (q. S, t) = 2 MhQg' Л, a'Ch, a (<J, s)e-i(*P. (2.26)
