Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Естественно попытаться ввести вместо Q , новые переменные так, чтобы энергия системы, будучи выражена через них, не содержала перекрестных членов. Эти переменные называются нормальными координатами. По определению энергия системы, как функция нормальных координат и соответствующих им скоростей (или импульсов), представляет собой сумму энергий независимых гармонических осцилляторов. Соответственно нормальные координаты меняются со временем по простому гармоническому закону (каждая, вообще говоря, со своей частотой). Колебания, совершаемые нормальными координатами, также называются нормальными.
НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
377
Определение нормальных координат и частот, с которыми они колеблются, представляет' собой, очевидно, не что иное, как задачу
о приведении квадратичной формы (1.9) к сумме квадратов. Как известно из линейной алгебры, для этой цели надо произвести линейное преобразование переменных, т. е. в нашем случае представить векторы смещения отдельных атомов Qa как линейные комбинации новых обобщенных координат. Вид этой линейной комбинации в интересующей нас задаче можно в известной мере предугадать, принимая во внимание физическую эквивалентность всех элементарных ячеек в основном объеме кристалла. Действительно, на основании этой эквивалентности следует ожидать, что амплитуды смещений соответственных атомов в различных ячейках будут одинаковы и при переходе от одной ячейки к другой будет меняться только фаза колебаний. По этой причине попытаемся представить векторы смещения в виде
Qa W “ ё*7Г 2 ^ 4 *4, S* ** е'ЧР*‘ *2'
Ч. «
Здесь множитель G"1'2 введен для удобства в дальнейшем; q — некоторый вектор, определяющий изменение фазы при переходе от одной ячейки к другой; р — вектор (1.1); комплексные величины г) (q, s, t) играют роль новых обобщенных координат (зависящих от времени);
(q, s) — векторы, которые надлежит подобрать так, чтобы при подстановке (2.1) в (1.9) «перекрестных» членов не было. Индекс s нумерует различные возможные типы нормальных колебаний, характеризуемых одним и тем же вектором q. Необходимость ввести этот индекс ясна хотя бы из следующих соображений. Поскольку обобщенные координаты г|, по определению, должны гармонически зависеть от времени, выражение (2.1) представляет собой сумму волн. Направление распространения каждой такой волны определяется вектором q, а направление колебаний h-го атома — вектором gft. В зависимости от угла между этими векторами мы можем иметь различные типы волн с одной и той же длиной, например продольные и поперечные. Именно это обстоятельство и отражается индексом s *).
Вектор q называется квазиволновым. Название связано с очевидной аналогией между выражением (2.1) и набором волн в сплошной среде. В следующем параграфе мы увидим, однако, что (как и в случае электронов в решетке, § II 1.2) эта аналогия неполна, почему и не используется термин «волновой вектор».
Возможные значения компонент q определяются граничными условиями, накладываемыми на векторы смещения. Как и в гл. III, рассматривая систему в, основном объеме V, удобно наложить
*) В решетках, содержащих более одного атома в элементарной ячейке,
есть и другие причины, требующие введения индекса s '(см. ниже, § 3).
378 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ ?ГЛ. XII
условия периодичности на его границах. Тогда компоненты q даются формулами вида (III.3.10), в которых следует положить
La = Gacia, сс — xt у, z.
Заметим, что величины т] (q, s, t) — комплексные нормальные координаты— не независимы. Действительно, в правой части (2.1) стоят комплексные числа, в то время как компоненты вектора смещения должны быть вещественными. Это возможно, если выполняется равенство
bk(q, s)4(q,s. *)=?*(—q, «)»]* (—q, s, f). (2.2)
Действительно, выражение, комплексно сопряженное правой части (2.1), есть
G-1/2i]SUq, s)n*(q, s,
4. s
Заменяя здесь переменные суммирования qx, qy, cjz на —qx, —qy, *—qz, получаем
G-1/22] 6* (— q. «)ч*(—q, s. 0e!qp.
4, S
В силу (2.2) это есть не что иное, как сама правая часть (2.1). Таким образом, она совпадает с сопряженным ей выражением, т. е. оказывается вещественной.
Подставим выражение (2.1) в правую часть (1.9). Принимая во внимание (1.8), получим
Я = (2.3)
где
Mh?,ha (q> s) ?fta (q , S ) X
q, q' s, s' ft
XT] (q, s, Qij(q\ s', /)2«!(,+,’р), (2.4)
y=^2,2 2 2r“;^-g')x
X La (q, S) ?,h'a' (q't S') r] (q, s, f) r] (q', s', t) ё <чр+ч'р'). (2.5)
Как показано в Приложении VIII,
2 ег (ч + <г. р) = G6q + q', 0, (2.6)
g
где 6Ч+Ч', о есть символ Кронекера, равный единице при q + q' = 0 и нулю при q + q' ф 0.
