Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Тождества (2.17), (2.17') позволяют исследовать общий вид закона дисперсии при малых квазиволновых векторах, т. е. для длинных волн («длинными» в данном случае йадо называть волны, длины которых велики по сравнению с постоянной решетки).
Рассмотрим сначала простую решетку (г — 1). В этом случае уравнение (3.1) — кубическое. Следовательно, имеются три ветви колебаний: s = 1, 2, 3. При q = 0 система (2.10) принимает вид
Г?Г (0) 11а (0, s) = а>1 (0) (0, s). (3.2)
В силу (2.17') левая часть (3.2) обращается в нуль, и, поскольку вектор ? не должен быть тождественно равен нулю:
со, (0) = 0.
386
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
Таким образом, при q = 0 частоты колебаний всех трех ветвей обращаются в нуль. Поскольку (q) есть четная функция q, отсюда, в сочетании с определением (2.9), следует, что для длинных волн о>1 есть квадратичная функция q,
*>s2(q) = Caf)(s)<Mp, (3.3)
т. е,
©j — csq. (3.3')
Величины cs зависят, вообще говоря, от направления вектора q (и, конечно, от номера ветви). Аналогичную формулу, но с постоянными величинами с$ мы получили бы, рассматривая распространение малых колебаний плотности в упругом изотропном континууме. При этом, как известно, одна ветвь (припишем ей индекс s — 1) описывает продольные волны (это есть обычный звук), а две другие (s = 2, 3) — поперечные волны. В анизотропной среде четкое разделение волн на продольные и поперечные возможно лишь для некоторых особых направлений; вообще же говоря, угол между векторами q и g (q, s) оказывается отличным как от нуля, так и от я/2. Иными словами, каждая ветвь имеет, вообще говоря, как поперечную, так и продольную компоненты. Тем не менее величины cs часто называют • скоростями звука.
В сложных решетках, когда г > 1, также всегда имеются три ветви колебаний, у которых закон дисперсии при малых q имеет вид (3.3). Этот факт явствует просто из того, что при длинных волнах все атомы в элементарной ячейке могут смещаться практически одинаковым образом, т. е. существуют движения, при которых элементарная ячейка колеблется как целое. Сложная структура ячейки при этом никак не проявляется. Формально в существовании таких ветвей можно убедиться, написав систему (2.10) при q = 0 и предположив заранее, что cos (0) = 0:
? r^(0)U(0, s) = 0. (3.4)
й= i
Из тождества (2.17) вытекает, что эта система имеет нетривиальные решения, не зависящие от h:
gA(0, s) = S(s). (3.5)
В самом деле, подставляя (3.5) в (3.4), видим, что последнее уравнение удовлетворяется в силу (2.17).
Таким образам, вектор смещения действительно оказывается одним и тем же для всех атомов данной ячейки. Ветви такого типа называются акустическими-, для некоторых особых направлений их, как и в простой решетке, можно разделить на одну продольную и две поперечные. Мы припишем им значения индекса s = 1, 2, 3,
АКУСТИЧЕСКИЕ И ОПТИЧЕСКИЕ ВЕТВИ
387
, В рассматриваемом случае уравнение (3.1) — степени Зг^б. Следовательно, помимо акустических, должны существовать еще 3г—3 ветви колебаний, не имеющих себе аналога в динамике сплошной среды. Закон дисперсии для этих ветвей уже не имеет вида
(3.3), т. е. при q -*¦ 0 частота колебаний уже не обращается в нуль. Поскольку частота, согласно (2.18), есть четная функция q, для длинных волн величина со (q, s) (s ^ 4) почти постоянна *):
fi)(q, s) = (o0(s) — asq2. (3.6)
Коэффициент а, обычно больше нуля. Частота ©0 (s) называется предельной. Колебания этого типа отличаются тем свойством, что при q -*¦ 0 центр тяжести элементарной ячейки остается в покое. Действительно, при q = 0 и ю = система (2.10) при-
нимает вид
2 Г“/г (0) 1на (0, S) = (S) 1м (0, s).
&= 1
Суммируя эти равенства по ft' и переставляя в левой части порядок суммирования по ft и ft', получаем
2 1па (0, S) 2 №'(0)= 2 ma.©5(s)Ea'«'(o, s).
ft= 1 h’= 1 h'= 1
Согласно (2.17) левая часть этого равенства тождественно равна нулю. Следовательно, при а>0 (s) Ф 0
2 Мн.&л>(0, s) = 0. (3.7)
Л' = 1
В левой части (3.7) стоит не что иное, как вектор смещения центра тяжести элементарной ячейки, умноженный на М. Этим и доказывается высказанное выше утверждение. Ветви колебаний с законом дисперсии вида (3.6) называются оптическими. Физическую природу различия между акустическими и оптическими колебаниями легко понять, рассматривая кристалл с двумя атомами в 'Элементарной ячейке. Как мы видели, при длинноволновых акустических колебаниях эти атомы движутся почти синфазно, а при длинноволновых оптических, согласно (3.7), — почти в противо-фазе (рис, 12.1). Очевидно, в ионных кристаллах при колебаниях последнего типа может сильно изменяться дипольный момент элементарной ячейки. Поэтому некоторые оптические колебания в этих кристаллах сравнительно легко возбуждаются переменным электромагнитным полем подходящей частоты. Рассмотренный процесс составляет один из важных механизмов поглощения электромагнит-
