Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*) Выражение (3.6) получается в результате разложения ш (q, s) при s>s 4 по степеням ф и пренебрежения величинами порядка (q2)2, (q2f и т. д.
338
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
ных волн ионными кристаллами. С этим обстоятельством связано и само название «оптические».
В решетке с большим числом атомов в элементарной ячейке фазовые соотношения между смещениями различных атомов усложняются, однако суть различия между длинноволновыми акустическими и оптическими колебаниями остается прежней: первые
Акустические колебания Оптические колебания-
Рис. 12.1. Смещения атомов при длинноволновых акустических и оптических колебаниях решетки в двухатомном кристалле. Кружками изображены атомы, входящие в данную элементарную ячейку.
отвечают смещениям элементарной ячейки как целого, вторые •— внутренним деформациям в ней при почти неподвижном центре тяжести ячейки.
При уменьшении длины волны закон дисперсии делается более сложным и его трудно установить в общем виде. Можно лишь утверждать, что при всех возможных значениях q частота колебаний
остается ограниченной. В конечном счете это связано с тем, зто соответствующая длина волны 2n/q не может быть меньше расстояния между соседними атомами. Наибольшая частота, акустических колебанйй называется дебетской (юд); с ней можно связать характерную дебетскую температуру ТD, полагая = k'F
Для определения зависимости ft>s (q) во всей зоне Бриллюэна приходится либо выполнять численные расчеты в рамках каких-либо конкретных моделей, либо испол ьзовать экспер иментальйые данные. В этом отношении весьма полезными оказываются опыты по неупругому рассеянию проникающих излучений, особенно медленных нейтронов, кристаллами. Измеряя угловое распределение рассеянных нейтронов и пользуясь законами сохранения энергии и квазиимпульса, удается с хорошей точностью восстановить вид закона дисперсии (q) *). Примерный вид зависимости cos (q) для акустической и оптической ветвей представлен на рис. 12.2 (кривые 1 и 2).
Рис. 12.2. Законы дисперсии для акустических (кривая 1) и оптических (кривая 2) фононов в одномерной цепочке атомов (схематически).
*) Подробнее об этом можно прочитать в книге [2].
§ 4] ВЕКТОР СМЕЩЕНИЯ 389
§ 4. Вектор смещения
Выразим теперь вектор смещения а-го атома через вещественные нормальные координаты х (q, s). Согласно формуле (2.1)
Qa = G-1/* 2 U (q. s)n(q. s)e‘w. (4.1)
q. s
Подставляя выражение (2.22) в правую часть (4.1), мы получаем
Qa==27w2S/l(q’ s)e'4° х
X {х (q, s) + x(- q, s) + i . (4.2)
Произведем здесь в слагаемых, содержащих х (—q, s) и р (—q, s),
замену q ->—q и примем во внимание равенства (2.13). Получим окончательно
= 2 {s»(4. s)[x(q, s) + f +
q s = 1
+ В(Ч. s) <4. (4.3)
Поскольку величины x (q, s) и p (q, s) гармонически зависят от
времени, правая часть формулы (4.3) представляет собой набор бегущих волн; длины волн X связаны с абсолютными значениями квазиволновых векторов обычным соотношением Я, = 2л/q.
Рассмотрим, в частности, одноатомный кристалл (г — 1). Тогда компоненты вектора ? оказываются вещественными. Как видно из системы уравнений (2.10), чтобы убедиться в этом, достаточно доказать вещественность коэффициентов Г“а' (q), определяемых равенством (2.9) (мы опускаем теперь индексы h, h', ибо элементарная ячейка содержит только один атом). В кристаллах рассматриваемого типа каждый атом представляет собой центр симметрии. Следовательно, если в левой части (2.9) имеется слагаемое с некоторым вектором qx, то там будет и другое слагаемое с равным по величине и противоположно направленным вектором —qx. Таким образом, равенство (2.9) принимает вид
iw (q) - Р»' (0) + 2 2 Г**' (gi) cos (qpi), gi
т. e. коэффициенты Гаа' (q), а с ними и компоненты вектора ? вещественны, что и требовалось доказать.
Очевидно;- эти соображения справедливы не только для простой решетки, но и вообще для любой решетки, в которой каждый атом является центром симметрии. Видно также, что в любой сколь
390
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
угодно сложной решетке коэффициенты Ты?’ (q) вещественны при q = 0 и qa = ±л, т. е. для предельно длинных и предельно коротких волн.
Формула (4.3) описывает смещения атомов в дискретной решетке. В ряде явлений, однако, существенны только волны смещения с длиной, значительно превышающей постоянную решетки. При этом факт дискретности решетки не играет роли. Очевидно, в случае длинных волн дискретный аргумент р в формуле (4.3) можно заменить непрерывно меняющимся вектором г — одним и тем же для всех атомов в данной элементарной ячейке. Иначе говоря, в сумме по q в правой части (4.3) имеет смысл выделить длинноволновую часть Q„. В нее входят только слагаемые с квазиволно-выми векторами, удовлетворяющими условию
