Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
2я/<7>|а|. (4.4)
Для акустических колебаний переход от дискретного вектора р к непрерывному означает не что иное, как переход к макроскопической теории упругости, в которой кристалл рассматривается как непрерывная среда. При этом все атомы в элементарной ячейке колеблются практически в одной и той же фазе и индекс h у вектора ? можно опустить. Таким образом, длинноволновую часть вектора смещения, связанную с колебаниями акустического типа, можно записать в виде
ОдЛ.»к(г) = 2-^2 2 {С(Ч, s)[x(q, *ЖжЙЙ)]е‘'ЧГ +
q s = 1
+ ?* (q. S) [x (q, s) - i e-lqr} • (4.5)
С другой стороны, при рассмотрении оптических колебаний, хотя бы и длинноволновых, полностью пренебрегать дискретностью решетки и отбрасывать индекс h нельзя. Так, в двухатомной решетке векторы ?а у атомов, входящих в одну ячейку, направлены почти в противоположные стороны. Вместе с тем замена дискретного вектора р на непрерывный по-прежнему возможна: разность фаз между колебаниями соответственных атомов в соседних ячейках невелика. Таким образом, длинноволновая часть вектора смещения, связанная с колебаниями оптического типа, также дается формулой вида
(4.5):
Одл. опт (г) - 2 2 2 {?* (q*s) [х fa’s)+1 уиЛч, VI e‘qr+
q s>4
+ Ц (q, s) [x (q, s) - i iqr}• (4.6)
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
391
§ 5. Квантовомеханическое рассмотрение колебаний решетки
Выражение для энергии (2.24') в равной мере справедливо как в классической, так и в квантовой теории кристаллической решетки. В последнем случае следует лишь считать величины р их операторами, удовлетворяющими следующему правилу перестановки:
x(q, s)p(q', s') — р (q', s')*(q, s) = mqq-8SS’. (5.1)
Как и раньше, через Sqq- и 8SS' здесь обозначены символы Кро-некера (П.Х1.9). В частности, можно рассматривать х(q, s) как
число; тогда р (q, s) = — ih ^ ^ Оператор Н теперь представляет собой гамильтониан системы независимых осцилляторов, координаты и импульсы которых суть ;t(q, s) и p(q, s). Соответственно уравнение Шредингера для системы атомов, колеблющихся около периодически расположенных в пространстве положений равновесия, можно записать в виде
1 ГмГ + Ш)22Ч1-5)'*2 (Ч' В)}Ф = ЕФ. (5.2)
q, s
Здесь Ф есть волновая функция, описывающая малые колебания решетки, а Е — принадлежащее ей собственное значение энергии. В качестве аргументов Ф можно выбрать, например, совокупность всех нормальных координат х (q, s). Общее число этих координат, очевидно, равно числу степеней свободы системы 3rG. Действительно, имеется G независимых компонент вектора q, а индекс s, как мы знаем, принимает все значения от 1 до 3г. Обозначим для удобства совокупность переменных q и s одним индексом /:
/ = {Ч, s}, / = 1» •••» 3rG = N, co(q, s) = (of. (5.3)
Тогда x (q, s) = xf и Ф = Ф (xlt хъ ..., %), где, например, хг есть нормальная координата, описывающая колебания типа s — 1 с волновым вектором q = qi, и т. д. По правилам квантовой механики величина | Ф |а определяет плотность вероятности тех или иных значений xlt xN. Именно, выражение
| Ф (хъ х2, xN) |2 dx± dx2... dxN (5.4)
есть вероятность того, что значение первой нормальной координаты лежит в малом интервале dxx около точки хъ второй — в интервале dx2 около точки х2 и т. д. Поскольку, согласно (2.1) и (2.26), нормальные координаты однозначно связаны с компонентами векторов смещения, выражение (5.4) определяет тем самым и распределение вероятностей тех или иных смещений атомов решетки.
392 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ {ГЛ, XII
Поскольку гамильтониан (5.2) представляет собой сумму независимых однотипных слагаемых, решение уравнения (5.2) легко найти, полагая
Ф = П>(*/)- (5-5>
f
При этом для всех сомножителей <р получается уравнение одного и того же вида:
/ п? МвАх\ \
[ш + 2 )ф ^ <5-6)
Величина Ef есть собственное значение оператора, стоящего в скобках в левой части (5.6). Собственное значение полной энергии системы дается суммой
? = (5.7)
f
Уравнение (5.6), дополненное условием квадратичной интегрируемости функции <р в области — оо< < +со, представляет собой стандартную задачу о гармоническом осцилляторе в квантовой механике. Решение этой задачи хорошо известно:
4 1 / M<s>f \ / 1 f МаЛ
фвфЯ/-(дС/) = (_] рт===-ехр( 2h~xf) Н^\х{у ~Yj' (5-8)
Ef — %<?>] (rif -f- x/2). (5-9)
Здесь nf — целое положительное число (вообще говоря, свое для каждого типа нормальных колебаний), а Нпf — п}-й полином Эрмита. Функция <р, определяемая формулой (5.8), нормирована обычным способом ^ dxq>nf (х) = 1.