Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, выражение (2.4) с учетом (2.2) принимает вид
Т = т22 2А4*Ь.«’ $nta{q> s’)4iq' s’ ^*(q, s', t). (2.4')
q s, s' h
$ 2] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 379
Обратимся теперь к вычислению суммы по g и g' в правой части
(2.5)-, Заменим переменные суммирования, полагая
g-g' = gi, g + g' = 2ga (2.7)
и, соответственно,
P-P' = P1. Р + Р' = 2р2.
Получим с учетом (2.6)
2 Itft'fe-g') ^(qP + q'P')^ g, g#
St Si
= G2rS'(g1)ei4P«6q+4-,0. (2.§)
St
Пределы суммирования здесь легко устанавливаются на основании
(2.7) и (1.2): —Gx^glx =s? Gx и т. д.
Введем обозначение
2 Пн' Ы= Г?“' (Ч). (2.9)
gt
Тогда выражение (2.5) с учетом (2.2) и (2.8) принимает вид
у=42 2 2Г^(^4’ s^-“'(q’ s')Ti(q’s-s'> *>• (2-5,)
s, s' h, h* q
Из формул (2.3), (2.4') и (2.5') видно, что слагаемые с различными q не «перемешиваются» в выражении для полной энергии: последняя представляется суммой членов, каждый из которых относится только к одному вектору q. Это означает (с учетом (1.1)), что зависимость от q в линейной комбинации (2.1) выбрана правильно и нормальные колебания действительно можно характеризовать квазиволновым вектором q. Осталось потребовать, чтобы в выражениях (2.4'), (2.5') обратились в нуль слагаемые cs=/=s', Можно убедиться, что это условие выполняется, если величины t,ha удовлетворяют системе уравнений
2 Т*ш (Я) lha (Я, s) = (dt (q) М,Лп’а’ (q, s), (2.10)
A
где (os (q) — некоторые числа размерности частоты. (Из дальнейшего будет видно, что они представляют собой-не что иное, как частоты нормальных колебаний.) Действительно, в Приложении IX показано, что из системы (2.10) вытекает условие ортогональности
2 м*а» (ч>«) lha (q, s’)=о, s' ф s. (2.11)
h
380
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. Xlt
Из соотношений (2.10) и (2.11) сразу видно, что слагаемые с s' Ф s действительно обращаются в нуль как в (2.4'), так и в (2.5'). Виден также формальный смысл индекса s: он нумерует различные решения системы (2.10) (при заданном векторе q).
Отметим некоторые важные свойства системы (2.10). Прежде всего, из соотношения симметрии (1.7') и определения (2.9) вытекает равенство
Г“у (q) = [Г“ “ (— q)]*• (2.12)
Таким образом, матрица коэффициентов в (2.10) переходит сама в себя, если заменить q на —q и одновременно выполнить комплексное сопряжение. То же, очевидно, справедливо и для детерминанта этой матрицы и для его миноров, а потому и для величин (q) и для векторов ? (q, s), которые через них выражаются:
?(Ч. s) = g*(— q, s), cos(q) = [wH—q)]*. (2.13)
Еще одно свойство коэффициентов Г““' (q) можно установить, замечая, что потенциальная энергия кристалла, равно как и ее производные по смещениям, должна быть инвариантной относительно сдвига решетки как целого. Действительно, при таком сдвиге расстояния между атомами не меняются, а потому не могут измениться и силы взаимодействия между ними. С другой стороны, формально мы можем, смещая все атомы на постоянный вектор Q0, вычислить изменение потенциальной энергии или ее производных при таком сдвиге. Требуя, чтобы это изменение обращалось в нуль, получим некоторое тождественное соотношение между коэффициентами r““'(q)\
Удобно рассмотреть первую производную от потенциальной
- д\' энергии по дакои-нибудь компоненте вектора смещения ^ ^
(тот факт, что она равна нулю в условиях равновесия, не играет роли). Очевидно, изменение ее при сдвиге Q0 есть
dV dV
dQa (р, h) dQa (p, It)
W_________
ZidQa(p, h)dQ , (p', h') h'= 1 g'
Здесь индекс «0» указывает, что соответствующая величина вычисляется при Qo = 0, а многоточием обозначены члены, содержащие высшие степени компонент Q0. Их мы всегда можем отбросить, считая величину | Q0 | достаточно малой. Принимая во внимание определение величин (см. (1.7)), мы получаем из (2.14)
Е Hr^'(g-g')Qo,«' = 0. (2.15)
ft'= i g'
Суммирование по g', очевидно, можно заменить суммированием по разности g— g' = g", Поскольку компоненты Q0f а- независимы,
НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
381
равенство (2.15) дает
Е Sr““;(g')=o. (2.16)
h'= I g'
Ради единства обозначений мы заменили здесь индекс суммирования g" на g'. Соотношение (2.16) должно выполняться тождественно для любой кристаллической решетки.
В частности, в простой решетке, когда в элементарной ячейке имеется всего один атом (г = 1), суммирование по h' отпадает (ti — h ~ 1) и тождество. (2.16) принимает вид
