Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы имеем два эквивалентных языка для описания малых колебаний атомов кристаллической решетки около положений равновесия — язык гармонических осцилляторов и язык фононов. В разных задачах бывает удобно пользоваться либо одним, либо другим из них, и полезно иметь в виду «правила перевода» с одного языка на другой. Составим таблицу (см. табл. 12.1 на стр. 396), указывая в середине то или иное физическое понятие (или процесс), а слева и справа (строкой ниже)— описание его на языках осцилляторов и фононов.
При использовании фононного языка очень ясный и наглядный смысл приобретают операторы bf и bf (5.16а, б). Первый из них увеличивает, а второй уменьшает на единицу число фононов s-й ветви с квазиволновым вектором q. По этой причине bf и Ь} называются, соответственно, операторами порождения и уничтожения фононов.
Рассмотренные только что «правила перевода» в равной мере относятся как к равновесным, так и к неравновесным состояниям решетки. В частности, в условиях термодинамического равновесия представление о малых колебаниях составляет точное содержание понятия «тепловое движение решетки». Последнее можно, таким образом, описывать на языке фононов. Нагревание или охлаждение
*) Представление о фононах впервые было введено в 1930 г. И. Е. Там» Мом [3J.
396
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
Таблица 12.1
Язык осцилляторов Язык фоионов
Решетка атомов или
ионов, совершающих
малые колебания около
положений равновесия
Набор независимых ос Величины, задающие Идеальный газ фононов,
цилляторов, частоты ко состояние решетки энергии которых связаны
торых суть частоты нор с частотами нормальных
мальных колебаний. колебаний соотношением
Осцилляторы нумеруются де Бройля. Состояние
вектором q и числом s фонона задается векто
ром q и числом s
Квантовые числа всех Энергия решетки Числа фононов во всех
ОСЦИЛЛЯТОРОВ tlf (без нулевой энергии) состояниях nf
Сумма энергий независи Изменение состояния Энергия идеального газа
мых осцилляторов решетки фононов
Изменение квантовых чи Возбуждение решетки Изменение чисел фоно
сел тех или иных осцил нов в тех или иных со
ляторов стояниях
Перевод одного или не Уменьшение энергии Порождение одного или
скольких осцилляторов решетки нескольких фононоз
в состояние с большим
квантовым числом
Перевод одного или не Исчезновение одного или
скольких осцилляторов нескольких фононов
в состояние с меньшим
квантовым числом
ФОНОНЫ
397
решетки означает при этом перераспределение фононов по состояниям, а также увеличение или уменьшение общего их числа. В частности, среднее число фононов в состоянии / = {q, s} в условиях термодинамического равновесия дается функцией распределения Бозе:—Эйнштейна. При этом следует иметь в виду, что химический потенциал фононного газа равен нулю. Действительно, поскольку общее число п фононов не постоянно, оно определяется (при термодинамическом равновесии) просто из условия минимальности свободной энергии <У\ у = 0. Но v есть химиче-
ский потенциал [М9]. Таким образом, распределение Бозе—Эйнштейна превращается в данном случае в формулу Планка
Соотношения (6.2) и (6.3) в сочетании с законом дисперсии — зависимостью ш от q — позволяют вычислять среднюю энергию колеблющейся решетки и, следовательно, все остальные термодинамические характеристики по стандартным формулам теории идеального газа Бозе—Эйнштейна.
В связи с описанием решетки на языке фононного газа следует сделать еще три замечания.
Во-первых, аналогия между фононами и частицами идеального газа основывалась
а) на формуле (6.2) и
б) на соотношении де Бройля между энергией фонона и частотой нормальных колебаний.
Чтобы эта аналогия была последовательной, надо иметь возможность приписать фонону не только энергию, но и квазиимпульс р. При этом квазиимпульс должен быть связан с квазиволновым вектором фонона соотношением де Бройля р = h<\. Рассматривая только идеальный фононный газ, мы не можем решить вопрос о существовании или отсутствии квазиимпульса у фонона. Действительно, квазиимпульс определяется по свойству сохраняться (с точностью до Щ либо в периодическом поле, либо (в сумме по всем частицам) при взаимном их рассеянии. Но в идеальном газе фононов никакие процессы рассеяния не происходят. Поэтому ввести квазиимпульс фонона можно только рассматривая взаимодействие его с электронами или с дырками ;— объектами, квазиимпульс которых уже определен. Эта задача решается в §XIV.4. Там показано, что фонону действительно следует приписать квазиимпульс р = Hq.
