Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, состояние отдельного осциллятора, соответствующего нормальному колебанию ветви s с квазиволновым вектором q, задается квантовым числом nf = п (q, s). Совокупность чисел п (q, s) для всех q и s полностью определяет состояние колеблющейся решетки. Мы будем иногда обозначать эту совокупность одной буквой я, Снабжая соответствующим индексом и волновую функцию Ф.
Вектор смещения Qa при квантовомеханическом рассмотрении также становится оператором. Для дальнейшего (гл. XIV) нам понадобятся его матричные элементы в системе функций Ф„, т. е. интегралы вида
fnn- = \)On'Qa(^ndxx...dxN. (5.10)
Пользуясь выражением (4.3) для вектора смещения, можем переписать (5.10) в виде
Г
Л»'=42*2 &(Ч, ^nn-{f)e^ + U{q, s)/i.'(/)«-*»}, (5.11)
q s = I
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
393
где
?пп' (/) = J ФЙ* (xf ± i ^L) Ф„ dxx... dxjf. (5.12)
Подставляя сюда функции Ф*- иФ.в виде (5.5), получаем
Поскольку функции фЧ/, (рпу образуют ортогональную систему, интегралы по Xf при f' Ф f отличны от нуля только при и/. — щ¦, когда они равны единице по условию нормировки. Интегралы по xf можно вычислить, пользуясь вытекающими из (5.8) рекуррентными соотношениями ([М2], § 33):
Таким образом, интегралы отличны от нуля только при совпадении квантовых чисел всех осцилляторов, кроме /-го; значение rtf при этом должно измениться на единицу. Можно сказать, что каждый член суммы (4.3) (или (4.5), (4.6)) при квантовом рассмотрении представляет собой оператор, изменяющий на единицу квантовое число соответствующего осциллятора и не затрагиваю-
(/) = J dxS(K's (*/) (xf ± 1 ш) Ъ Ы х
X П 5 dxl'4>n'r (*/') <*/')• (5-13)
Поскольку — — в левых частях (5.14а) и (5.146) стоят
как раз выражения
Пользуясь вновь ортогональностью и нормировкой функций <рл , мы получаем
/2Й_ул _ { V
\М(0/) \
394 КОЛЕБАНЙЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
щий всех остальных осцилляторов. Удобно ввести новые операторы bf и bf, полагая
Цх>+‘щПтТ'ь’- <5Л6а)
<616б>
Согласно (5.5), (5.15а) и (5.156)
bfO^Vn} ФП' 6' + , 0П Kl.ns (5Л7а)
ЫФп = Уъ+ТflV6 '_ ,,0n K'f, V (5-176)
r f r*f r f
Символы Кронекера здесь выражают полученные ранее условия, которым, согласно (5.15а) и (5.156), должны удовлетворять состояния пип'. При выполнении этих условий матричные элементы операторов bf и bf равны, соответственно, У nf и YП/ + 1-
Подставляя (5.16а, б) в правую часть (4.5), получаем удобную
для дальнейшего формулу для длинноволновой части оператора смещения при акустических колебаниях:
Од л. ак (г) =
3
= 2 2 [щ5даГ^(Ч. s) v ^r + S*(q. S)^,se-‘V}. (5.18)
q s= 1
Аналогично преобразуется и формула (4.6):
Одл.опт (®*)
= 2 2 [sKTSpPfb». 1- (5.19)
Q s ^=4
Этими формулами мы воспользуемся дальше, в гл. XIV,
§ 6. Фононы
Согласно (5.9) и (5.7) собственные значения энергии колеблющейся решетки можно записать в виде
Е — 2 (nf + V2) — (S‘l)
f
=т2*®'+2 nfn(of <6-2)
f t
Первое слагаемое в (6.2) представляет собой нулевую энергию системы осцилляторов, не исчезающую даже в основном ее состоя-
§6]
ФОНОНЫ
395
нии. Коль скоро частоты нормальных колебаний заданы, нулевая энергия есть просто некоторая постоянная. Второе слагаемое в (6.2) описывает энергию возбуждения системы. Различным возбужденным состояниям при этом соответствует различный набор чисел пf, причем энергия возбуждения увеличивается с возрастанием значений nf. Формально выражение для энергии возбуждения имеет вид полной энергии идеального газа, состояния «частиц» которого задаются индексом /, т. е. квазиволновым вектором q и номером ветви s. При этом число «частиц» в состоянии f есть квантовое число соответствующего осциллятора nf, а энергия «частицы» равна Ho)f. Она, как и следовало ожидать, связана с частотой соответствующего нормального колебания соотношением де Бройля. Представление о таком идеальном газе очень удобно: оно позволяет наиболее простым и наглядным путем выразить то обстоятельство, что энергия колеблющейся решетки может изменяться не «как попало», а только порциями — квантами — величины На>{. «Частицы» этого газа — кванты энергии возбуждения — называются фононами*).
Полное число фононов в кристалле, конечно, не сохраняется: оно дается суммой всех чисел nf и может быть любым. Число фононов в каждом состоянии nf также произвольно: как мы видели, число tif может принимать значения 0, 1, 2, ... Это означает, что газ фононов подчиняется статистике Бозе—Эйнштейна.
