Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Определение 1.10. Пусть (М2п, а;) — симплектическое многообразие. Гладкое подмногообразие N с М называется
1) симплектическим, если ограничение формы ш на N невырождено;
2) лагранжевым, если dimTV = п и ограничение формы ш на N тождественно равно нулю.
Пример 1. Рассмотрим каноническую систему координат р\,... ,рп, qi,... ,qn и произвольную гладкую функцию S = S(qi, ... , qn). Тогда подмногообразие N, заданное как график
3S
Основные понятия
27
является лагранжевым. Верно и обратное: если лагранжево подмногообразие N можно в канонических координатах представить как графику = Pi(qi, ... , qn), то (по крайней мере локально) найдется функция S = S(qi, , qn) такая, что р = dS г dqi
Еще одним примером лагранжевых подмногообразий являются торы Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем, о которых речь идет в следующем параграфе.
1.5. Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля
Пусть М2п — симплектическое многообразие и v = sgrad# — гамильтонова система с гладким гамильтонианом #.
Определение 1.11. Гамильтонова система v называется вполне интегрируемой по Лиувиллю, если существует набор гладких функций Д, ... , fn таких, что:
1) Д, ... , fn — первые интегралы v,
2) они функционально независимы на М, то есть почти всюду на М их градиенты линейно независимы,
3) {/г, fj} = 0 при любых г и j,
4) векторные поля sgrad/* полны, т.е. естественный параметр на их интегральных траекториях определен на всей числовой прямой.
Определение 1.12. Слоением Лиувилля, отвечающим вполне интегрируемой системе, называется разбиение многообразия М2п на связные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов Д, ... , /п.
Поскольку Д, ... , fn сохраняются потоком v, то каждый слой слоения Лиувилля — инвариантная поверхность.
Слоение Лиувилля состоит из регулярных слоев (которые заполняют почти все М) и особых слоев (заполняющих множество меры нуль).
Одна из целей нашей книги — описание топологии слоений Лиувилля. Формулируемая ниже теорема Лиувилля описывает их структуру в окрестности регулярного слоя.
Рассмотрим совместную регулярную поверхность уровня функций Д,..., /„:
= {х G М | fi(x) = &, i = 1, 2, ... , п}.
Регулярность означает, что дифференциалы dfi линейно независимы на Т Теорема 1.2 (Теорема Лиувилля).
Пусть на М2п задана вполне интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система v = sgrad# и — регулярная поверхность уровня интегралов Д, ... , fn-Тогда:
28
Глава 1
1) — гладкое лагранжево подмногообразие, инвариантное относительно потоков v = sgrad# и sgrad/i, ... , sgrad fn.
2) Если подмногообразие связно и компактно, то диффеоморфно п-мер-ному тору Тп. Этот тор называется тором Лиувилля.
3) Слоение Лиувилля в некоторой окрестности U тора Лиувилля тривиально, т. е. диффеомофно прямому произведению тора Тп на диск Dn.
4) В окрестности U = Тп х Dn существует система координат s\, ... , sn, <pi, ... , <рп, называемых переменными действие-угол, со следующими свойствами:
а) si, ... , sn — координаты на диске Dn, <р±, ... , <рп — стандартные угловые координаты на торе Тп, <р е M/27rZ.
б) ш = S d*Pi A dsi.
в) Переменные действия s* являются функциями от интегралов Д,..Д.
г) В переменных действие-угол гамильтонов поток v выпрямляется на каждом торе Лиувилля из окрестности U, т. е. гамильтоновы уравнения принимают вид
Si = 0, фг = , 8п), i = 1, 2, ... , п.
Это означает, что на каждом торе поток v задает условно-периоди-ческое движение, а траектории являются прямолинейными обмотками тора (рациональными или иррациональными).
Доказательство.
1) Поскольку функции Д, ... , Д попарно коммутируют, они являются первыми интегралами не только потока v = sgrad#, но и каждого из потоков sgrad Д. Следовательно, их совместная поверхность уровня Т? инвариантна относительно этих потоков и, более того, векторные поля sgrad Д, ... , sgradД в силу своей независимости образуют базис в каждой касательной плоскости к Т,?. Лагранжевость подмногообразия следует теперь из формулы a;(sgrad Д, sgrad Д) = {Д, Д} = 0.
2) Потоки sgradД, ... , sgradД попарно коммутируют, поскольку
{sgradД, sgrad Д} = sgrad{/i? Д} = 0,
и являются полными. Это позволяет определить на многообразии М2п действие Ф абелевой группы Мп, порожденное сдвигами вдоль потоков sgrad Д, ... , sgrad Д. Это действие можно задать явной формулой. Пусть gf — диффеоморфизм, сдвигающий все точки многообразия вдоль интегральных траекторий поля sgrad Д на время t. Пусть (ti, ... , tn) — точка К.71. Тогда
Ф(*!, ... , tn) =g[1g% ...gt?.
Основные понятия
29
Лемма 1.4. Если подмногообразие связно, то оно является орбитой действия Ф группы Мп.
Доказательство.
Рассмотрим образ группы Шп в М при следующем отображении
