Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
44
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
ЕГл. I
Приведем здесь также явные формулы для Аг(а), А2(а), В1(а), В2(а) и и1(а, ф). Из (1.15), (1.16) и (1.17) имеем:
А(«) =
вЛа) =
2тсш
2 па<
^ / (a cos ф, — аш sin ф) sin ф е?ф, о
2п
¦ ^ / (a cos ф, — ач) sin ф) cos ф е?ф.
Далее, из (1.18) следует, что
_ g0 (а)_____________________1_ \п gn (a) cos п\> + hn (a) sin га{>
Mi(a> ф) — 0)2 m2 Л2 —1
S
п—2
где gn (а) и hn (а) находим по формулам
2п
?п (а) =='^Г ^ /(а cos Ф> ~ aw sin Ф) соэтгф е?ф,
о
2 те
>
/гп(а)=—/(ясовф, — <ш sin ф) sin ?гф е?ф. I о )
Наконец, в силу (1.15) и (1.19) можем написать:
А(«) = — + -
2тс
^ (а, ф) f'x (a cos ф, — ашвщф)-|-
1
2тс со
(1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)
+ cos ф — аВх sin ф + ш jx
X f'x' (a cos ф, — аш sin ф) J sin ф е?ф,
I 2л
2тша \ Ф)/Пасозф, -ашзтф) +
о
+ cos ф — аВ1 sin ф +W —х
X fx’ (л cos ф, — аш sin ф) j cos ф с?ф.
Заметим, что уравнения второго приближения (1.26), где А2 (а) и В2(а) определяются согласно выражениям (,1.30), сложны ввиду того, что они записаны в самом общем случае. Для конкретных колебатель-' ных систем, как будет показано ниже, эти уравнения значительно упрощаются.
Остановимся теперь на более детальном рассмотрении первого приближения.
§ 1}
ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
45
В соответствии с формулами (1.23), (1.24) и (1.27) первое приближение для решения уравнения (1.1) может быть представлено в виде
Заметим, что полученные нами уравнения первого приближения совпадают с уравнениями, найденными по методу Ван-дер-Поля.
Выведем теперь еще одну формулу для определения мгновенной собственной частоты ш1(а).
Возведя правую часть выражения (1.34) в квадрат, получим:
откуда, поскольку все вычисления ведем в первом приближении, отбрасывая члены второго порядка малости по отношению к г, имеем:
2п
О
' Выражение для квадрата мгновенной собственной частоты (1.35) можно упростить.
Введем функцию
х = a cos ф, где а и ф определяются уравнениями:
(1.31)
(1.32)
причем
2тс
еА1(а)= — f (а соэф, — aw sin ф) sin ф е?ф, (1.33)
о
2 тс
О
объединив «квазиупругий- член» с нелинейным.
Тогда, очевидно,
2тс
Ш1 (а) = — ^ F(а cos ф, — аш sin ф) cos фе?ф. (1-36)
о
Аналогично, принимая во внимание, что
46
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[ГЛ. I
имеем также:
27С
гАг (а) = —-2~ ^ ^(acostj), — aw sin ф) sin ф е?ф. (1-37)
о
В полученных формулах (1.36) и (1-37) функции еА1(а) и ш1(а)
г dx \
представлены непосредственно с помощью функции FI х> ), ’й'0
отличает их от формул (1.33) и (1.34), где фигурирует лить нелинейный поправочный член. Входящая в поеледние две формулы величина ш может быть, очевидно, интерпретирована как приближенное значение (нулевое приближение) частоты колебаний рассматриваемой системы.
Приведем теперь еще один спсс< б получения уравнений первого приближения. Прежде всего напомним, что при s = 0 уравнение (1.1) допускает решение:
х = a cos ф,
dx . . } (1.38)
1г=-аш8тф,
где ф = toi -f- Q, причем амплитуда а и фаза колебания Й являются постоянными величинами.
Нетрудно., однако, убедиться, что формулы (1.38) могут быть оставлены и в случае г Ф 0 при условии, что величины а и 6 мы будем рассматривать не как постоянные, а как некоторые функции времени.
Будем рассматривать (1.38) как некоторую замену переменных, а и 8 —амплитуду и фазу колебания — примем за новые неизвестные функции времени, определив которые, с помощью (1.38) сможем найти искомое выражение для первоначально неизвестной х. Чтобы составить дифференциальные уравнения для а и 6, продифференцируем обе части первой формула (1.38). Получим:
dx da , , . . ,,
-jj- — --j-j- cos ф — a sin ф — aw sin ф, (1.3У)
откуда, принимая во внимание второе соотношение (1.38), имеем уравнение
-^j-cos ф — a -^j-sin ф = 0. (1.40)
Продифференцировав обе части второй формулы (1.38), получим:
d2x da . . rffl
—772“ = —зг о» sin Ф - aw -j-dt2 dt ' dt
d2x da . , dS , 2 , /л /л\
(osinf - aw -r— cos ф — aur cos ф. (1.41)
d^x
Подставляя теперь в уравнение (1.1) вместо х, соответ-
ственно их значения, взятые согласно формулам (1.38) и (1.41), найдем:
— — aw — cos ф = з/(a cos ф, —aw sin ф). (1-42)
Решая систему двух уравнений (1.40) и (1.42) относительно неиз-
da dB
вестных —г- и -гг , получим: dt dt
~ f (a cos ф, — aw sin ф) sin ф,
'_^/(acos<b — аювнк^соэф.
(1.43)
§ 1]
ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
47
Итак, вместо одного дифференциального уравнения второго порядка
(1.1) относительно переменной х имеем два дифференциальных уравнения (1.43) первого псрядка относительно переменных а и 0.
Заметим, что правые части уравнений (1.43) обладают по отношению к независимой переменной t периодом, равным — , а кроме этого.
da
db
и — пропорциональны малому параметру з, так что а и 0 буду i
медленно изменяющимися функциями времени.
Дифференциальные уравнения, приведенные к такому виду, будем называть уравнениями в стандартной форме.
Нетрудно видеть, что правые части уравнений (1.43) могут быть представлены в виде сумм:
f (a cos ф, --аш sin ф) sin ф =
