Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
490
СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ
[ГЛ. XIX
оператор перестановки частиц Pkj. Под этим оператором мы будем подразумевать символ, указывающий на то, что координаты ?-й и /-й частиц должны быть переставлены. Например, если мы имеем функцию /(..., </*, qj, ...)> то
Phjf{..., qk, ..., qh qJt ..., qk, ...). (114.3)
Этот оператор, очевидно, принадлежит к числу линейных опера-торов, так как для того, чтобы переставить координаты в сумме двух функций, нужно переставить их в каждой из функций.
С помощью оператора Pkj равенство (114.2) можно написать в виде
РkjH (qit • •« i qk> • • • > Qjy • • • » Qn* 0
= H(qu qky <7y, <7*, (114.4)
для всех nap k, j. Таким образом, оператор PkJ коммутирует с гамильтонианом системы одинаковых частиц. Действительно,
А Л
если мы применим к некоторой функции я|) оператор PH, то в силу (114.2) это все равно, что применить к г|) оператор HP, ибо оператор Р оставляет неизменным, согласно ^114.2), гамильтониан Н.
Опираясь на это свойство гамильтониана, докажем важную вспомогательную теорему относительно волновых функций, описывающих состояние систем из одинаковых частиц. Пусть волновая функция системы N частиц есть ?(qlt ... , q!t, ... , qf, ... ... , qN, t)\ она должна удовлетворять уравнению Шредингера
(Qi> ••• > Як.Qj> ••• > <7jv’ 0
т
= Я(?1....qk, ... , qj......qN,t)x
xY(?i......qk, ..., qjt ..., qN, f). (114.5)
Переставим в этом уравнении координаты k-ih и у'-й частиц. Для этого подействуем на обе его части оператором Pkj:
ih^(PkJ^)--=Pk/(m). (114.5')
В силу того, что гамильтониан Н для одинаковых частиц симметричен относительно перестановки частиц, мы можем на основании (114.4) переставить в (114.5') операторы PkJ и Я. Тогда мы получим
ift|(P»/F)=?(VP). (114.6)
Из сопоставления (114.6) с исходным уравнением (114.5) следует, что если V (<7ь ..., qk, ..., qj, qN, t) есть решение
§ 114]
ПРИНЦИП ТОЖДЕСТВЕННОСТИ МИКРОЧАСТИЦ
491
уравнения Шредингера (114.5), то и
W'^Pkj'Y = W(qly ..., qу, <7*, qN, t) (114.7)
есть также решение этого уравнения, и, следовательно, W' наряду с W представляет одно из возможных состояний системы. Оно отличается от прежнего 4х тем, что /г-я частица находится теперь в состоянии, ранее занимавшемся /-й частицей, и /-я занимает теперь состояние к-й. Продолжая перестановки, мы можем получить новые возможные состояния системы "Ф*", у?"', ..., отличающиеся друг от друга распределением частиц по состояниям.
Утверждая, что. первая частица находится в состоянии а (первое место в волновой функции), вторая частица —в состоянии b (второе место) и т. д., мы встречаемся с одной характерной трудностью. Дело в том, что, становясь на атомистическую точку зрения, считая разные экземпляры частиц одного рода одинаковыми, мы можем различать частицы только по их состоянию — например, по их положению в пространстве, по величине их импульса, энергии и т. д. Разумеется, что с течением времени состояние частиц может измениться, и они могут обменяться своими состояниями. Поскольку в классической механике принципиально возможно проследить за траекторией частиц, постольку, отметив частицы, например, по их положению в момент времени / = О, мы можем в любой момент сказать, находится ли в данном месте та частица, которую мы назвали первой, или та, которую назвали второй. Между тем в квантовой области этого сделать нельзя. Если бы мы отметили частицы по их положению в момент / — 0, то волновые пакеты, относящиеся к различным частицам, быстро бы растеклись и перекрылись, так что, обнаружив в момент />0 где-либо какую-нибудь из частиц, мы уже никак не могли бы сказать, какая же это из частиц —первая или вторая.
Эти рассуждения иллюстрируются рис. 85. На рис. 85, а изображены положения частиц Xi и х2 в момент / = 0 и дальнейшие движения их по классическим траекториям.-На рис. 85, б изображены волновые пакеты частиц в момент / = О около х± и лго (заштрихованные области) и их дальнейшее рассеяние. Следует отметить, что заштрихованы только те области, где | |2
имеет большую величину, так что в незаштрихованных областях пакеты также перекрываются, только значение | !Р |2 там мало. Найдя частицу в области пространства, где волновые пакеты перекрываются, мы уже не можем решить, с какой из двух частиц мы имеем дело.
Приведем еще другой. пример. Пусть частицы • находятся в ящике, разделенном перегородкой (рис. 86). Непрозрачные стенки ящика означают, что по мере приближения к стенкам потенциальная энергия частиц возрастает. В частности, перегородка
492
СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ
[ГЛ. XIX
есть не что иное, как потенциальный барьер. Этот барьер изображен на рис. 86 снизу, под ящиком. Если энергия частиц
Рис. 85. Нумерация частиц по их положениям в пространстве.
а) В классической механике; б) в квантовой. В области, заштрихованной дважды, нумерация спуталась.
меньше высоты барьера, то, согласно классической механике, частицы неспособны проникнуть через него — перегородка для
них непрозрачна. Поэтому мы можем различать частицы по их положению в левой или правой половине ящика.
