Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 83. К теории опытов Штер на —Герлаха.
476
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ
1ГЛ. XVIII
яннп с магнитным моментом 9)iw = 0, будут двигаться без действия сил. Из уравнений (111.5) и (111.6) мы получим проходящий без отклонения пучок. Атомы, находящиеся в каком-либо другом состоянии с ЭЛт Ф 0, образуют отклоненные пучки (на рис. 83 приведены два таких пучка).
Существенно, что магнитный момент меняется от состояния к состоянию скачкообразно. Благодаря этому пучки, вообще говоря, разделяются так, что по месту падения атомов на экран (или фотопластинку) Р мы можем решить, в каком из возможных состояний г|эт находятся атомы, т. е. определить их стационарные состояния. Траектории, принадлежащие пучкам, легко вычислить из уравнений (111.5), (111.6), учитывая расположение диафрагмы D, ее форму и начальное распределение скоростей атомов.
Можно и прямо воспользоваться уравнениями Ньютона:
м d*X dE nlm
dt2 “ dX i
м <PY dEnim
d(°- ~ dY !
м d*Z dEni™
d(2 ~ dZ
Будем считать, что магнитное поле ж зависит лишь от г (по крайней мере на большей части отрезка DP). Тогда из (111.7)
получаем
X^vl + X о, (111.8)
Y = Y0, (111.8')
Z*=-2A!%-/2 + Z«’ О11'8')
где v — скорость атомов (мы предполагаем, что они первоначально
движутся параллельно ОХ, и, кроме того, градиент поля
в пределах области движения атомов считаем почти постоянным). Обозначая длину DP через / и пользуясь (111.2), мы получим отклонение
Z„-Z.= -±?c(m±l (111.9)
Произведенный нами расчет лишь приближенный. В действительности атомы, проходящие диафрагму, не будут двигаться по
классическим траекториям: пучок будет расползаться.
Чтобы учесть это явление, следует сделать еще один шаг
в приближенном решении уравнения (11J.3), учтя члены в Snim и содержащие первые ступени h (см. § 35). Mbi пе будем
этого делать, а ограничимся лишь оценками.
§ 1111 ОПРЕДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ АТОМОВ
477
Пусть ширина пучка в направлении 0Z есть AZ0. Тогда скорости атомов в направлении 0Z в силу соотношения неопределенности
AZ0 Ар. > у
(111.10)
не могут равняться нулю (как это допускалось в классическом расчете). Если среднее значение р2 — 0, то из (111.10) следует,
что AZ0-Mvz>~, т. е.
(111.10')
При прохождении через поле в течение времени t, благодаря наличию разброса в скоростях vzy ширина пучка AZ возрастает и будет равна
AZ<~^>2jrk- (шло
Для того чтобы мы были еще в состоянии решить, к какому из состояний Еп1т или Еп[т' относится атом, падающий на экран Р, необходимо, чтобы | Zm> — Zm | AZ/, т. е. на основании (111.8")
или
/2
Ш
дЕ
дЕ
rilm'
дЕ
nlm
Ш
dZ
dZ
2М • AZ0
(111.12)
nlm1
dZ
dE
nlm
OZ
AZ0
(111.13)
Но так как в силу слабой зависимости Enim’ и Е„:т от Z
дЕп1т’ ¦ - дЕ~
| Enim' Enim j
dZ
-AZ0-
"nlm
~д?Г
AZn
то последнее неравенство можно записать также в виде
| Enim' — Enim 11 > /г, (111.14)
т. е. для того, чтобы различать стационарные состояния атома (Enim' или Enim), измерение должно производиться в течение достаточно большого времени t:
t >\ё~7~~ё Г (Ш-15)
\unltn nlm I
К этому обстоятельству мы еще вернемся в § 112.
В заключение теории опытов по определению стационарных состояний атомов методом отклонения пучка атомов во внешнем поле рассмотрим более сложный случай, когда первоначальная волновая функция представляет состояние с неопределенным значением энергии.
473
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVIII
По общей теории вероятность получить при измерении в таком состоянии значение энергии Еп равна \сп |2, где сл —амплитуда в разложении по собственным функциям оператора энергии1). Покажем, как относится это общее утверждение к определению энергии методом отклонения пучков. Если система находится во внутреннем состоянии tyn(x, у, г), то полная волновая функция, с учетом движения центра тяжести, будет равна
Y(X, Y, Z, х, у, г) = Фп(Х9 Г, Z)%(x, у, г), (111.16)
причем Ф/2 определяется из уравнения (111.3) (пли вообще (110.11)). Если состояние г|) есть суперпозиция г|?л, то в силу линейности уравнений квантовой механики общая функция имеет вид
Ч(Х, Г, Z, X, у, г)= 2Сп®п(Х, Y, Z)^„(x, у, г). (111.17)
П
Непосредственно на опыте мы измеряем не внутреннюю энергию атома, которая нас интересует, а положение атома X, Y, Z. Определим вероятность того, что атом находится в области
X, X + dX, У, Y+dY, Z, Z + dZ.
Эта вероятность равна
w(X, Y, Z)dXdY dZ^dXdY dZ\\W f dx dy dz =
= ^ I2! ф« i2 dX dY dZ. (111.18)
П
Измерение энергии атома En заключается в том, что мы решаем, к какому из пучков (см. рис. 78) относится атом. Каждый пучок описывается своей функцией Ф/г (X, У, Z). Для того чтобы наш опыт был действительно опытом по измерению энергии атома, нужно, чтобы различные пучки были разделены друг от друга, иными словами, функции Ф„ (X, У, Z) должны быть отличны от нуля в различных областях пространства (для этого должно быть обязательно выполнено условие (111.15)).
Найдем теперь, какова вероятность wm того, что атом принадлежит пучку т. Для этого нужно проинтегрировать (111.18) по объему этого пучка. Мы обозначим этот объем через Vm:
