Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим несколько подробнее волновые функции, обладающие свойством симметрии или антисимметрии в частицах. Начнем с антисимметричных функций, принадлежащих частицам Ферми. Сначала обратимся к случаю двух частиц. Антисимметричная функция двух частиц W (qu q2i t) может быть разложена по собственным функциям *фЯ1 (qx) и tyn2 (q2)f принадлежащим отдельным частицам.
У(Чь 0 = "2. (П7.1)
«I По
Выражение (117.1) мы можем представить в ином виде, разбив сумму на две части, в одной пусть пх>п2, а в другой tii<.n2
(,п1 = п2 выпадает, так как с(пъ пъ 0 = 0):
V(qu <h, 0= S Tic(nь n2. 0ЧчЫ'M'fc) +
«1 >пг п2
+ Ц 2с(Яь П2, ОoM<7i)'M<72). (117.Г)
«1 < п2 п2
Меняя во второй сумме индексы суммирования пх на п2 и п2 на П\ у получим
4(Ql, 42, 0= 2 Л,с(пи п2, WnAll) Уп,Ш +
«1 >п2 п2
+ 2 Ис(п*’ л1> (П7.1")
п2 < пх tlt
§ 117]
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ФЕРМИ II БОЗЕ-ЧАСТИЦ
505
и, наконец, переставляя пх и п2 в с(п2, riu t), мы получим на основании (116.13):
Ч(Яи Яг, 0 =
= 2 2c(«i. «2, 0 Нч Мtn, Ы-tn. Ы tn, (<7i)}i (П7.2)
«1 >«2 «2
выражение в скобках можно представить в виде определителя и записать ? в виде
m о- 2 2:«<«,. о|р:“ ¦*‘2|. (П7
/1| >«2 П2 I 2 Т«2 II
3)
Таким образом, антисимметричная волновая функция представляется в виде суммы (или. интеграла) определителей вида
Фл,п2 (<7ь Яг) —
(117.4)
Если мы имеем дело с N частицами, то подобным же образом легко получить, опираясь на (116.13), в общем случае
y(qi, .... Як..........Я)........Яы, 0 =
= ? (^1, • • • , ^к, • • •» ty, • • • у nN, t) X
П1 >п2> "• >nN
X ФП1, ... yflfo » • • • fflj * • • • * п ДГ (^i> • • • 9 tfki • • • f Qj* • • • > <7w)> где
Флх....."ft....У
(117.5)
¦ nN
Ч ы •• ••Ч (Як) • ‘Ч (?;) •• Ч (4N)
ч (?1)" •Ч (?*)• ¦ Ч (?,) •• Ч ы
Ч til) • "Ч (Як) "Ч ^ - •Ч ^лг)
Vft)- ••Ч (?*) •• 4v (?/)• •Ч (^)
(117.6)
Раскрывая определитель, можно написать Ф также в виде
*4.....nk,...,nj...nN(.Ql, •••! Як, •••» Яь •••> Ям)~
= 2 (±) Ы • • • Ч Ы • • • tn, (?/) • • • t«AT (<7л0• (117.6')
р
Здесь сумма взята по всем N1 перестановкам координат частиц Яъ ..., яы, причем знак + или — берется перед слагаемым в (117.6'), смотря по тому, получается ли некоторое расположение величин q из расположения в порядке возрастающих номеров Яъ q2......qk, <7a+i, ..., qtw путем четного числа парных переста-
новок или путем нечетного числа парных перестановок.
506
СИСТГ.МЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ АШКРОЧЛСТИЦ [ГЛ. XIX
Приведенное представление антисимметричных волновых функций в виде суммы определителей очень важно в практических приложениях теории при приближенном решении задачи о движении многих тел. Допустим, что нас интересуют волновые функции стационарных состояний двух электронов в атоме. Такие функции найти, вообще говоря, довольно трудно. Напротив, функции одного электрона найти значительно проще. Допустим, что эти функции мы знаем— пусть это будут функции (^) и tynAfc)- Если взаимодействие электронов не сильно, то волновая функция системы двух электронов будет такова, что состояние каждого из электронов будет мало отличаться от состояния одного электрона в атоме в отсутствие другого электрона. Если же одни электрон мы помещаем в квантовое состояние, характеризуемое величинами (квантовыми числами) пъ то вероятность найти какое-нибудь иное значение п[ в этом состоянии равна нулю. Подобным же образом, помещая второй электрон в состояние п2у мы должны будем утверждать, что вероятность найти п\ равна нулю. Если мы теперь имеем дело сразу с двумя электронами в атоме, то в случае слабого взаимодействия между электронами состояние при помещении второго электрона должно мало измениться. Это означает, что если теперь вероятность найти п^п'^ и п2--^п[ и будет отлична от нуля, то она все же будет мала, а стало быть, все с (п'и п'ъ t) в (117.3) малы, кроме с{пъ п2у /). Пренебрегая всеми су кроме с(пи п2у /), мы получим из (117.3) волновую функцию 4го для двух электронов атома в нулевом приближении:
*, о = с(»„ (117.7)
и так как общий множитель с(пъ п2, t) не играет роли, то
^ = Яг)- (117.8)
Аналогично и в случае многих частиц, при условии слабого взаимодействия между ними, функцией нулевого приближения
для системы частиц lF° является .............„....Пдг (qlt qk, ...
.... Я,..... Ы (П7.6), если тЦ^), ....Ц>Пдг (qN) суть
функции электронов без учета взаимодействия.
Таким образом, представление антисимметричной волновой функции в виде определителя (117.4) или (117.6) дает приближенный способ для представления волновых функций системы слабо взаимодействующих частиц через функции отдельных частиц в отсутствие взаимодействия между ними.
Для частиц Бозе мы имеем другое разложение волновой функции системы частиц W по произведениям функций отдельных частиц: ^ (^) (?,)... ^ (qk)... г|>„. (д;) ...%N (<?*). Переставляя
§ 117]
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ФЕРМИ И БОЗЕ-ЧАСТИЦ
507
в разложении волновой функции системы ^ (<7ь • • •» Qk* • • •» • • •» <7дг, 0 * У! • • • У! с ... , fiNi t) X
nx nN
x Ы ... ^ Ы •.. фл; (qj). • • ^ M (117.9)
координаты &-й и /-й частиц и замечая, что функция для частиц Бозе при этом не должна измениться, мы, сравнивая коэффициенты при одинаковых произведениях, найдем, что
