Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Разложим функцию Y (<?ъ q2, t) описывающую состояние системы, по собственным функциям измеряемых на электронах величин, т. е. по о|зп, (<71) и г|>Я1(<72). Получим
Ч(цх, q%, 0 = 22с(яь "2. (116.7)
III пг
где
С (Ль «2. *) = $?(?!, <?2. t)T)p%i{q1)iSf%2{qi)dq1dq2\ (116.8)
при этом, написав в (116.7) сумму по пх и п2у мы предположили, что измеряемые величины принимают лишь дискретные значения.
502 СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
Если бы они принимали непрерывные значения, то следовало бы вместо суммы писать интегралы. Это не изменило бы дальнейшего хода рассуждений. Поэтому ради определенности мы сохраним обозначение через сумму. Сумма по пг и п2 распространена по всем значениям пх и п2\ кроме того, пх и п2 пробегают одинаковые значения (так как речь идет об одних и тех же механических величинах как для первого, так и для второго электрона).
Согласно общей теории величина
w(nx, пъ t) = \c(nu п2у t) |2 (116.9)
есть вероятность того, что в момент времени t на первом электроне будет получено значение измеряемых величин, равное пъ а на втором— значение тех же величин, равное п2. Переставим в ? (<7i, q2, t) первый и второй электроны. По предположению мы имеем дело с частицами Ферми, так что функция ? изменит при этой перестановке свой знак. Следовательно,
Я и t)='?'ZC(nl, »2. 0 Ы tn. (<7 х) =
= <72, о. (116.10)
т. е.
п2, =
= — ПЪ t)iMfli)4>n,(<7g). (116.11)
п 1 tl2
Если мы теперь изменим обозначения, заменив пг на /?2, а п2 на пъ все останется по-прежнему, так как суммы распространены по всем значениям пх и п2, и они пробегают одни и те же значения. На основании этого замечания мы можем переписать (116.11) в виде
2 2 е ("2. «1, 0 Ы tn. Ы = —
«2, (116.12)
tii Пг
Эти ряды по ортогональным функциям могут равняться друг другу только при условии, что коэффициенты при одинаковых функциях равны между собой, т. е.
с(пъ n2i J) = — с(п2, пъ t). (116.13)
Для пХ"П2 мы получаем, что
с(пъ пъ /) = -— с(пи п1% t)y (116.13')
но функция, равная самой себе с обратным знаком, равна нулю. Следовательно,
с(п, /г, /) = 0. (116.14)
§ lib] ЧАСТИЦЫ ЬОЗЕ И ЧАСТИЦЫ ФЕРМИ. ПРИНЦИП ПАУЛИ 503
Подставляя эго в (116.9), находим, что если значения и пг одинаковы, то вероятность w(nly п», t) равна нулю:
w(n, п, 0=0. (116.15)
Тем самым наше предположение доказано: вероятность того, что
одновременно в системе двух электронов будут измерены на обоих электронах одни и те же значения одной и тон же совокупности механических величин, характеризующих состояние электрона, равна пулю. Следовательно, такой результат измерения невозможен, что и составляет содержание принципа Паули.
Обобщение на N частиц проводится без труда путем таких же рассуждений как те, что были нами только что проведены для двух частиц. Волновая функция системы ? (qu ..., qk, qjy ...
...,<7дг, t). разлагается в этом случае следующим образом:
Y (<7i....Яь • • • > Я], • • •. Яы, 0 =
' ^1 * * * ^ J * * * ^ J * * * ^ (^1> * * * » * ' * » ^/» * * * »ftNt ty X
nl nk ni nN
Хф„! Ы ¦ • • (qk) • • • %j (q>) • • • ^ (qN), (116.7')
где
C (П\, . . . , nk, .. . , tlj, . . . , ^N, 0 ==
... \dqx ... dqN4? (qlt ..., qN, 0^*, Ы • • • ty%N (<7/v)- (116.8')
Вероятность найти значения измеряемых величин равными пх на первом электроне, пк — на k-м, tij — на /-м, п^ — на jV-m, равна
И«1........п„, ..., пу, ..., п,у, 0 =
= |с(яь ..., ..., tlj, ..., /гдг, /)|2. (116.9’)
Производя в (116.7') перестановку k-й и /-й частиц и меняя суммирование по пк на суммирование по tij и наоборот, мы в полной аналогии с (116.11) и (116.12) получим
^ («Ъ • • • » fl-j, • • • | ^к, • • • t 0
= — <:(«!, .... nk......n;-..............Плг, 0. (116.13")
откуда следует, что
с (tii......tij, ..., tik, ..., nN, 0 = 0 для пк = tij. (116.14')
Следовательно,
w(ti .......л*, ..., tlj.....nN, 0 = 0 для nk^tij. (116.15')
Так как это доказательство применимо к любым парам частиц (k, /) из числа N частиц, то все пк должны быть различны, иначе ю = 0. Таким образом, вероятность найти в системе частиц Ферми хотя бы пару частиц, для которых результаты измерений всех
504 СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
величину характеризующих состояние частицы (nk)y одинаковы, равна нулю.
Например, два электрона не могут иметь одинаковый импульс и одинаково направленный спин (в этом случае nk = njl причем под п следует разуметь pXi plJy рг, s). Подобным же образом нельзя обнаружить в одной и той же точке пространства два электрона с одной и той же ориентацией спинов (тогда qk = qJ9 причем под q разумеются х, у, г, s; при qk = ду функции (116.7), (116.7') имеют узел так, что | W |2 обращается в нуль).
Эти же утверждения справедливы также и для всех других частиц Ферми, для позитронов, протонов и нейтронов.
В заключение отметим, что так как электроны являются составной частью атомов, а протоны и нейтроны — составной частью атомного ядра, то принцип Паули имеет первостепенное значение как в теории электронной оболочки атомов, так и в теории атомного ядра.
§ 117. Волновые функции для системы частиц Ферми и частиц Бозе
