Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Сформулируем принцип Паули так, чтобы освободиться от только что указанного затруднения. Для этого заметим, что
дающая четырьмя степенями свободы: три относятся к движению его центра тяжести, четвертая есть спин. Поэтому для указания состояния отдельного электрона, принадлежащего системе или одинокого, достаточно измерить четыре величины Lb L2» Дъ s, которые должны обладать следующими свойствами: а) все они должны быть одновременно измеримы, б) первые три должны характеризовать движение центра тяжести и быть независимыми, в) четвертая должна определять состояние спина электрона.
Совокупность четырех величин такого рода образует полный набор механических величин для электрона. Одновременное измерение их является полным измерением, в результате которого возникает состояние (qk), в котором заданы четыре
электрон
частица со спином 9 есть частица, обла-
500
СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ
[ГЛ. XIX
величины Lb L2, L3, s. Ради краткости мы обозначим определенное значение четверки таких величин одной буквой п, так что
4>»(?t)='l>W.»(?»)- (116.4)
Приведем примеры таких четверок. Можно взять за три величины компоненты импульса рХу руу ргу а в качестве четвертой величины, определяющей спин электрона, —например, проекцию спина на направление импульса электрона sp. Тогда Li = pXy L2 = pyj L3 = = pz, s ~ sp. Подчеркнутая нами независимость трех величин Lb L2, L3 исключает, например, такой выбор Li = px, L2 = pyi L3 = = pi, так как в этом случае L3 есть функция La. Другой выбор величин может быть, например, таким: в качестве Li возьмем энергию движения электронов в поле ядра ЕпЫ (Li = Enim), за L2 возьмем момент импульса электрона (L2 = M), за L3 —проекцию момента импульса на какое-либо направление (L3 = MZ) и, наконец, для определения спинового состояния возьмем проекцию sz спина на ось OZ. При первом выборе величин Ьъ L2, L3, s после измерения получается состояние
Ф/l (Як) = Ь,РуРг*р Ы. (116.5)
при втором выборе
^a(qk) = ^n!msz(qk)- (116.5')
Эти состояния, возникающие в результате измерения, не будут вообще стационарными состояниями, что явствует уже просто из того, что в системе электронов ни импульс отдельного электрона, ни энергия отдельного электрона не являются интегралами движения. Для нас сейчас существенна другая сторона дела. Введя в рассмотрение состояния отдельного электрона (qk)> возникающие в результате измерения, произведенного на электроне системы, мы освободились от употребления неясного термина «состояние электрона в системе», так как состояние системы характеризуется одной волновой функцией <7дг, t),
и выделить там состояние одного электрона без изменения системы вообще невозможно. Если мы производим измерение величин, относящихся к отдельному электрону (Lb L2, L3, s), то по крайней мере в момент времени / = 0, в который было произведено измерение, состояние электрона будет
Ы-
Таким образом, вместо «состояния отдельного электрона в системе» мы оперируем с состоянием отдельного электрона, возникающим в результате произведенного над ним полного измерения. Эти замечания позволяют нам формулировать принцип Паули в самой общей форме, не прибегая к неточным словам «квантовые состояния отдельного электрона».
§ 116} ЧАСТИЦЫ БОЗЕ И ЧАСТИЦЫ ФЕРМИ. ПРИНЦИП ПАУЛИ 501
В этой общей форме принцип Паули гласит: в системе электронов в каждый момент времени при измерении любых четырех величин Lu L2, L3, s, характеризующих состояние отдельного электрона, каждое значение четверки ветчин Ьъ Ьъ L3, s может быть получено только для одного электрона системы.
Теперь мы докажем, что эмпирически установленный принцип Паули есть следствие принципа тождественности частиц в квантовой механике. * Именно, частицы, описываемые антисимметричными волновыми функциями (частицы Ферми), подчиняются принципу Паули.
Сначала мы проведем доказательство, простоты ради, для ансамбля, состоящего только из двух частиц. Обобщение на любое число частиц будет уже совершенно просто.
Допустим, что состояние частиц характеризуется антисимметричной функцией W (qXi q2y t) (qly q2 означают, как и раньше, совокупность всех координат, включая спин первой и, соответственно, второй частицы). Допустим, что мы измеряем для первого электрона совокупность четырех величин, характеризующих полностью его состояние. Их значения обозначим одной буквой пх. Значения тех же величин для второго электрона обозначим через п2.
Состояние первого электрона, когда измеряемые величины имеют значение пъ пусть описывается волновой функцией (qi), соответственное состояние второго электрона tyn2{q2)- Так как речь идет об измерении механических величин, то функция ijv (qx) является собственной функцией операторов этих величин, и следовательно, функции для разных значений пх образуют ортогональную систему функций
I Фп' М 1ч (<?х) dq1 = 6Л/Л1. (116.6)
То же самое, конечно, относится и к-функции 'фпЛ^г)- При этом, так как под пг подразумеваются те же механические величины, что и под пи то t|5n2 — такие же функции, как и t|)ni, с той лишь разницей, что они относятся ко второму электрону, так что у них в качестве аргумента вместо qx стоит q2-
