Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, возможные состояния системы из W одинаковых частиц должны описываться волновыми функциями ?(<71,... ..., qk, ..., q/, ..., qN* О» которые либо меняют свои знак при перестановке любой пары частиц (&, /), либо остаются неизменными. Из соображений равноправности всех частиц нетрудно предвидеть, что возможные функции Чг таковы, что они либо симметричны во всех парах одинаковых частиц, либо антисимметричны во всех парах частиц, так что не может быть функцийу которые в части частиц симметричны, а в другой — антисимметричны1). Окончательно из принципа тождественности частиц следует, что возможны только два класса состояний для одинаковых частиц:
Pk№s = (k, / — любые) (115.7)
— симметричные во всех частицах и
Pkf?a = — У a (k, j — любые) (115.8)
— антисимметричные во всех частицах.
Мы сейчас покажем, что переходов между этими состояниями быть не может: если в какой-то момент времени система находится в симметричном (Ч^) или антисимметричном (?„) состоянии, то она всегда находится в симметричном или соответственно антисимметричном состоянии. Для доказательства этого важного положения достаточно воспользоваться уравнением Шредингера и тем обстоятельством, что гамильтониан обязательно симметричен относительно одинаковых частиц. Уравнение Шредингера
ih~ = hv (115.9)
нам удобно переписать в форме
(115.10)
г) Если встречаются перестановки и того _и другого рода, то W — O. Действительно, пусть 4е симметрична при перестановке k и /, j и г, но антисимметрична при перестановке i и /г. Тогда имеем
^(•••» Яь •••» Як* Я}'* • • •)~ ^ (• • • > Як* •••» 7/* •••» Я]* • ¦ ~
= — ?(..., Як> •••> Яр •••> Я1> ...)=—ЧГ(... , qj, ... , qk, ... , qh ...) =
= —V (... , qh ... ,</*, ... , qj9 ...).
Отсюда 2XV (... , qh ...., qki qh ...)=0, т. с. ?(..., qh ..., ...
, qjt 0. Подобным же образом проводится доказательство в предположе-
нии, что две перестановки антисимметричны, а третья симметрична.
496
СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
где dt будет означать приращение волновой функции за время dt. Допустим, что в момент времени / = 0 Т есть симметричная функция координат частиц (? = ЧГ5). Тогда в силу симметрии Н величина HWS будет также симметричной функцией координат частиц, а следовательно, и приращение функции dtxY будет симметричной функцией от координат частиц.
С помощью оператора перестановки эти рассуждения могут быть записаны так:
/>*,(№) = Я (Я*Д5) = ЯЧ'5, отсюда с помощью (115.10) следует
PkJ(m = dtVs (115.11)
для всех пар k, /. Наше доказательство, таким образом, утверждает, что функция, симметричная в какой-то момент времени (/ = 0), остается симметричной и в соседние моменты времени как в прошлые, так и будущие, ибо доказательство одинаково применимо и к dt> 0 и с^<;0. Следовательно, симметрия функции остается неизменной для всех моментов времени от t=— оо до t = -\-со. Совершенно аналогичным образом проводится соответствующее доказательство для антисимметричных функций. Пусть в момент t = 0 функция Ч*1, описывающая состояние системы, антисимметрична (Ч; = г1гв). Тогда
РцЧа=-Ча.
Далее,
Рк, (ячд=я (РцЧа) = - нча,
из (115.10) тогда следует
(115.12)
т. е. приращение антисимметричной функции Чга само антисимметрично. Поэтому, если система находится в состоянии, описываемом антисимметричной функцией то она всегда остается в таком состоянии. Доказанная теорема показывает, что деление состояний на два класса носит «абсолютный» характер: если какая-либо система в какой-либо момент времени обнаружена в состоянии того или иного класса (Ч^ или ?„), то она никогда не перейдет из одного класса в другой. Такой переход невозможен, как бы мы ни меняли внешнее поле, так как всякое поле одинаково действует на одинаковые частицы, и, следовательно, при любом изменении внешнего поля гамильтониан остается симметричным.
Нам надлежит теперь решить вопрос о том, в каких случаях какую из двух возможностей (Ч^Ч^ или ? = ?«) следует применять для описания состояния системы из одинаковых частиц.
§ 116] ЧАСТИЦЫ БОЗЕ И ЧАСТИЦЫ ФЕРМИ. ПРИНЦИП ПАУЛИ 497
§ 116. Частицы Бозе и частицы Ферми. Принцип Паули
Как мы видели, квантовая механика на основе принципа тождественности одинаковых частиц ведет к двум классам состояний, абсолютно не смешивающимся между собой. Поэтому выбор того или иного класса состояний для какой-либо системы частиц может быть продиктован только природой частиц, образующих систему, а не характером внешнего поля или каким-либо подобным обстоятельством.
Опытным путем установлено, что в природе существуют частицы, принадлежащие обоим классам. При этом наблюдается следующее правило: частицы, обладающие спином, равным целому числу постоянных Планка:
s = ftm, m = 0, 1, 2,... (116.1)
описываются симметричными функциями (Ws). Мы будем называть такие частицы частицами Бозе, а совокупности таких частиц —а н с а м б л я м и Б о з е — Э й н ш т е й н а, по имени физиков, разработавших статистику для таких частиц.
Напротив, частицы, имеющие спин, равный полуцелому числу постоянных Планка:
s = Hm, т = (116.2)
