Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно же квантовой механике для всякого барьера конечной высоты есть вероятность, что частица проникает через него благодаря туннельному эффекту. Если первоначально волновые функции частиц суть Wa и Wb (рис. 86), то по истечении некоторого времени они превратятся в Тд и Ч'ь (пунктирные кривые), так что частица а может быть найдена справа, а частица Ь — слева. При со волновые функции и станут одинаковыми и будут иметь симметрично расположенные максимумы в обеих половинах ящика. Вероятность найти частицу а в одном из отделений ящика будет равна той же вероятности для частицы Ь, так что всякий след исходной несимметрии будет утерян.
Рис. 86. Две частицы в ящике, разделенном перегородкой.
Внизу изображен ход потенциала вблизи стенок и волновые функции частиц.
§ 115J
СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ
493
Аналогичные рассуждения можно провести и в тех случаях, когда частицы отмечаются не по их положению в пространстве, как в приведенных примерах, а по каким-либо другим признакам, характеризующим их состояние. Пусть, например, в момент времени / = 0 частица а имеет импульс ра, а частица b — импульс ръ. Так как состояния с заданным импульсом занимают все пространство, то всегда существует некоторая вероятность столкновения частиц, в результате которого частицы обменяются импульсами так, что частица а будет иметь импульс pbi а частица Ь — импульс ра.
Таким образом, в квантовой области единственный способ, по которому можно различать одинаковые частицы — различие по состояниям, отказывается служить. В этой связи мыслимо предположение, что встречающиеся в природе системы устроены так, что вообще проблема различения одинаковых частиц является надуманной, т. е. что состояния совокупности одинаковых частиц всегда таковы, что можно говорить лишь о состоянии всей совокупности в целом, а не о распределении частиц по состояниям. Это предположение оправдывается на самом деле. Его мы формулируем в форме принципа тождественности: в совокупности одинаковых частиц реализуются лишь такие состояния, которые не меняются при обмене одинаковых частиц. Это означает, что вероятность найти при измерении какой-либо механической величины L, относящейся к системе одинаковых частиц или к ее части, значение, равное Z/, не меняется при обмене частиц их состояниями.
Высказанный принцип не вытекает из изложенных ранее положений квантовой механики, но, как мы увидим, он вполне подходит к ней и обязателен, если мы хотим получить из квантовой механики выводы, согласующиеся с опытом.
§ 115. Симметричные и антисимметричные состояния
Пусть 4я (<7!, ..., qk, ..., <7у, ..., qNi t) есть волновая
функция, описывающая состояние системы из N одинаковых частиц. Тогда, если мы обменяем состояниями, скажем, k-ю и /-ю частицы, то получим новое, как следует из теоремы (114.7), возможное состояние системы, описываемое волновой функцией ?'(</!, ..., <7у, ..., qk9 ..., <7дг, /). Принцип тождественности частиц утверждает, что это новое состояние неотличимо от прежнего, т. е. ЧГ и 4я описывают фактически одно и то же состояние системы.
Волновые функции, описывающие одно и то же физическое состояние, могут отличаться друг от друга только постоянным множителем. Следовательно, из принципа тождественности
.494
СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ
[ГЛ. XIX
вытекает, что
{Яъ • • • » Qjt • • • » Qky • • • » *7as О
= (^i, ... , qki • • • > Qjy • • • > ^л/» 0>
где Я —некоторый постоянный множитель. Это равенство с помощью оператора перестановки может быть написано в виде
PkjW^№. (115.1)
В уравнении (115.1) слева на функцию действует оператор Pkji а справа стоит эта же функция, умноженная на число Я. Следовательно, уравнение (115.1) есть уравнение для собственных функций ? и собственных значений Я операторов перестановки Pkj. Мы можем поэтому сказать, что условие (115.1), накладывае-емое принципом тождественности на возможные состояния системы, заключается в том, что волновые функции XF, описывающие состояние системы, должны быть собственными функциями операторов Pkj (для любых k, /). Нетрудно определить, каковы эти собственные функции и собственные значения Я. Для этого применим к (115.1) еще раз оператор перестановки Pkj. Имеем
PI/?-A/VF. (115.2)
Два раза применяемый оператор перестановки Pkj не меняет функции W. Поэтому в (115.2) слева стоит просто Ф (..., qki...
qjy ...), а справа в силу (115.1) Я2?(..., qk, ..., q;, ...), так что (115.2) переписывается в виде
? - Я2?,
т. е.
Я2=1. (115.3)
Отсюда получаем собственные значения оператора перестановки
Pkj''
Я = ± 1, (115.4)
а соответствующие собственные функции обладают в силу
(115.1) следующими свойствами:
P*/F=+'F, Я=+1, (115.5)
или
Рк/?= -Ч', Я- -1, (115.6)
т. с. собственными функциями оператора перестановки PkJ-
являются функции, которые при перестановке координат к-й частицы (qk) и /-й частицы (qj) либо не меняются (115.5), либо меняют свой знак на противоположный (115.6). Первые функции
§ 113]
СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ
495
(115.5) мы будем называть симметричными, а вторые (115.6) а н т и с н м м е т р и ч н ы м и относительно перестановки частиц с номерами к и /.
