Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
- W'(.V, у, г)г|Н-ИХ, y> z< x> У’ г) 1|3 == Ety. (110.7)
В это уравнение координаты центра тяжести X, Y, Z входят как параметры, и от них будут зависеть как волновые функции, так и собственные значения этого уравнения.
Во многих случаях w (X, Y, Z, х, у, г) можно рассматривать как возмущение. Это обстоятельство позволяет решить уравнение, если известны решения уравнения (110.6). Обозначим собственные функции уравнения (110.7) и его собственные значения через
= У, 2, X, Y, Z), Еп = Еп(Х, У, Z). (110.8)
Разложим теперь Ч*- (х, у, г, X, Y, Z, t) по собственным функциям я|)„. Тогда получается
W(x, у, г, X, Y, Z, /)=2ф»(*. Y, Z, t)%(x, у, z, X, У, Z).
(110.9)
Подставляя это разложение в уравнение (110.5), умножая на tym (х, у, г, X, Y, Z) и интегрируя по х, у, г, получим (в силу ортогональности функций i|)„) уравнения для функций Ф„:
ihnt = -mT*®”+iy(x> у- z)+?«(x- 2Лфт-
- ^^(2Ьт,Лх®п + ЬтпФп), (110.9')
п
где
&тп “ l^tnVx%dxdydz, (110.10)
bmn = \i^'x^ndxdydz. (110.10')
Эти два последних члена отличны от нуля лишь в том случае, если функции зависят от координат центра тяжести X, Y, Z и приводят к возможности переходов системы из одного состояния в другое. Действительно, если при ( = 0 все Фп — 0, кроме ф„, ф 0, то при t Ф 0 Фя Ф 0, и с течением времени из состояния Ф/г' будет возникать суперпозиция (110.9).
Если не зависят от X, Y, Z, то а,пп и Ьтп равны 0. Если эта независимость имеет место, хотя бы приближенно, то мы
474
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVIII
можем пренебречь величинами атп и Ьтп в (110.9') и тогда получим
~^хфп + [У (X, Y, Z) + E„(X, Y, Z)]Q>a. (110.11)
Это есть уравнение для движения центра тяжести системы в потенциальном поле с потенциальной энергией, равной
Un = V(X, 7, Z) + En(X, У, Z), (110.12)
при условии, что внутреннее состояние системы есть /2-е квантовое состояние. Уравнение (110.11) таково же, как уравнение для движения материальной тонки.
§ 111. Определение энергии стационарных состояний атомов методом отклонения во внешнем поле
В этом параграфе мы рассмотрим теорию опытов, в которых определяют энергию стационарных состояний атома, подвергая пучок атомов отклонению внешним полем; важнейший из них — опыт Штерна — Герлаха. Обычно его рассматривают как опыт по определению магнитного момента атома. Будучи рассматриваем более непосредственно, он является опытом по определению энергии атома во внешнем магнитном поле.
Из теории движения атомного электрона при наличии магнитного поля (§ 62) следует, что, поскольку пренебрегают высшими степенями магнитного поля, постольку действие магнитного поля можно выразить через добавочную потенциальную энергию (62.7), равную энергии магнитного диполя (орбитального и спинового) в магнитном поле. Поэтому мы можем применить к интересующему нас случаю теорию предыдущего параграфа. Из расчетов § 62 следует, что в указанном приближении волновые функции электрона ^>п1т не зависят от магнитного поля, а собственные значения энергии равны (62.13)
?,*да = ?Й/+^?(т± 1). (111.1)
При этом мы считали поле <Нэ однородным. Если оно достаточно плавно (для макроскопических полей нужная плавность всегда обеспечена), то его можно рассматривать как функцию координат центра атома X, Y> Z без того, чтобы нарушалась справедливость *) (111.1).
2) Для этого достаточно, чтобы поле мало менялось в пределах размеров атома а, т. с. должно соблюдаться условие
\дЖ
\0Х
0Y
о Ж dl
§1111 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ АТОМОВ 475
Таким образом, мы можем написать Enlm(X, Y, Z) — Eni + ~-с (т:
1 )^Г(Х, V, Z). (111.2)
Волновые функции ipn[m от X, Y, Z зависеть не будут, так как они не зависят от поля 9$. Стало быть, мы имеем дело со случаем, когда вместо общих уравнений (110.9') для волновых функций Ф, описывающих движение центра тяжести, можно написать уравнения (110.11). Эти уравнения в нашем случае будут
ят . *т2
(111.3)
т = _ * т-кфп1т + Еп1т (X, Y, Z) фяШ.
dt
Так как масса атома М велика, а внешнее поле 3$ всегда плавно меняется от точки к точке, то мы имеем налицо как раз те условия, при которых применимо приближение классической механики. Положив
Фпш(Х, у, Z, /) =
= УPnim (X, Y, Z, t) exp {- | Snlm (X, Y, Z; /)}, (Ш.4)
где Sntm — функция действия, а рпШ — плотность атомов в пространстве, мы получим для Snim и рп1т в первом приближении классические уравнения (см. § 35 (35.8) и (35.13))
1
Wt-2М (V^n/m)2 + Enim (Ху Y, Z),
dpnltn dt
(111.5)
(111.6)
М div (pnim\Snlm) — 0*
Первое уравнение есть уравнение Гамильтона — Якоби; оно утверждает, что частица будет двигаться по классическим траекториям. Второе уравнение есть уравнение непрерывности; оно утверждает, что рой частиц будет двигаться так, чтобы поток частиц, проходящий через любое сечение трубки, образованной траекториями, был постоянен.
Обратимся теперь к чертежу (рис. 83). Пусть на протяжении от D до Р действует магнитное поле, направленное по оси OZ.
В D сделана диафрагма, через которую поступают атомы. Ширина щели в диафрагме равна AZ0. Пучок атомов, входящий в D будет расщепляться. Те из атомов, которые окажутся в состо
