Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1051
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
453
т. е.
? = L + S, | L-pS —-11, |L + S-2|, ..., | L — S !. (105.22)
Всего (2S+1) значений. Все состояния с одними и теми же L и S образуют один мультиплет —группу уровней, находящихся, ввиду слабости взаимодействия между спином и орбитальным движением (ср. § 65), в соседстве друг с другом. Кратность (число уровней) в мультпплете равна, как мы видим, 25 + 1.
Полный момент системы /, ее орбитальный момент L и спиновый момент S служат для обозначения терма атома в целом. Так же как и для одного электрона (ср. § 65), термы с L = = 0, 1, 2, 3, ... обозначают S, Р, D, F, ... (па этот раз большими буквами) соответственно. Справа внизу приписывают значок, указывающий значение полного момента «/, а слева вверху значок кратности мультиплета, к которому принадлежит терм, а тем самым указывают и полный спин. Например, 4F»/2 означает терм, для которого L — 3, = S = 3/2; 6So/2 означает терм,
для которого L = 0, J = ъ/2, S = 5/2.
Формула (105.15) доказывается сразу, если заметить, что отдельные члены в сумме (105.10") коммутируют между собой и, следовательно, могут быть одновременно приведены к диагональному виду, так что собственное значение М„ равно сумме собственных значений + Но собственные значения последних суть где —целое или полуцелое число, смотря по значению спина частиц. Таким образом,
Напишем эти равенства в виде произведений матриц, беря представление,
Am, m-i и Оператор квадрата полного момента М2 можно выразить
iV N
V hnib — fm, т— V тк.
/г = 1 k— 1
Для определения собственных значений М2 введем операторы
(105.23)
B = A%x~-iMy.
Пользуясь (105.12), получаем
AMz-MzA = —hAt BMz-MzB = tiB\
(105.24)
в котором Мг диагонально. Тогда получаем
(105.25)
или
через операторы А и В двояким образом, именно,
м2--=лв + м1-шг, М2 = ВА + М + ЛА!..
(105.27)
(105.27')
454
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVII
Отсюда
Гв = № + ~ - (м г - I Y, (105.28)
T-V”*- 2)
ВА = № + ^-(мг + ^)2. <105-28'>
Беря диагональный элемент (т, т) от этих равенств, получим
{Щтт=Ат,т_1Вт_1,т=М* + ~-ш(т-^, (105.29)
{ВА)тт — Вт.т-цАт+1. т = М2+-^ (^т~\~"2 V* (105.29 )
Будем теперь считать величину М2 заданной. Тогда возможные значения \т\ неизбежно ограничены. В самом деле,
М2—
собственное значение Мх-\-Му не может быть отрицательным. Обозначим нижнее значение т через т', а верхнее —через т". Тогда из (105.29) и (105.29') следует (так как -4m,>m,_, = 0, m' = ° и Ат”+1. m" = °> Вт\ +
Отсюда
i -ш гм2 1
w4-)/f + }' <105-30)
—2- + j/^^+|. (>05.30')
Разность m"—m' + l есть число целое, равное числу различных возможных Мг при данном 7W2. Обозначим tn" — m' + 1 =2J +1. Тогда из (105.30) и (105.30') получаем ________
2У+1=2-|/|2+1,
или
M2 = /W (J + l). (105.31)
В силу полной равноправности положительных и отрицательных значений Мг мы должны положить т" — — т'. Вместе с (105.15) это нам дает
1 3
| т j ^ J, где т = 0, ± 1, ± 2, ..., J или т — 1. ^ , L у, ..., ± /.
При доказательстве мы пользовались только правилами перестановки операторов проекций импульса (105.11), Так как таким же правилам перестановки подчиняются порознь проекции оператора полного орбитального момента (105.16) и полного спинового момента (105 17), то тем самым доказаны и формулы (105.18), (105.19) и (105.20), (105.21).
§ 106] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 455
Из этих формул и из (105.14) следует, что оператор скалярного произведения
2мм3=мг-м1+т
имеет собственные значения
2(MMs) = W[J(J + \)-L(L+\) + S(S + \)], (105.32)
так что формула (64.13) для одной частицы является частным случаем (105.32).
Повторяя рассуждения § 74, можно легко вывести формулу для энергии в магнитном поле для системы частиц
W — ЬО,т f'l + j (y+1)TM^ + l) + .s(S+l)\ (Ю5.33)
L \ HJ + \) Г '
так что (74.23) будет частным случаем (105.33) для одной частицы. Формула
(105.33) дает расщепление уровней в магнитном поле для системы электронов
(сложный атом).
§ 106. Собственные функции оператора момента импульса системы. Коэффициенты Клебша—Гордона
Собственные функции оператора полного момента системы являются сложными функциями угловых и спиновых координат частей системы и их квантовых чисел. Однако в большем числе часто встречающихся случаев их можно выразить через функции моментов импульса отдельных частей.
Рассмотрим наиболее простой случай системы, состоящей из двух подсистем. Пусть и УИ2 суть операторы моментов импульса этих подсистем, коммутирующие друг с другом. и М2 могут быть орбитальными и спиновыми моментами двух частиц, орбитальным и спиновым моментами одной частицы и т. д.
Полный момент импульса будем считать интегралом движения. Состояние системы может быть охарактеризовано как квантовыми числами /ь /2, тъ т2 (/ъ /2— собственные значения моментов
импульса подсистем, тъ т2 — их проекций), так и четверкой чи-
сел У, т, /ь /2 /л — собственные значения полного момента системы и его проекции, причем т = т1-\-т2 (105.23)).
Поставим задачу определить волновые функции системы через волновые функции подсистем.
