Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Например, если атом вкраплен в кристалл такой, что он обладает осью симметрии /г-го порядка, то при повороте на угол 2л/п среда будет переходить в саму себя. Операция поворота на угол Ф = 2л/п будет интегралом движения, а волновая функция атома г|) будет подвергаться при этом определенному унитарному преобразованию.
Глава XVIII
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ
§ 108. Учет движения ядра в атоме
При рассмотрении движения оптического электрона в атоме мы. предполагали ядро атома неподвижным, рассматривая его как источник центральных сил. Такое приближение тем лучше, чем больше масса ядра т. Пользуясь доказанной выше теоремой
о центре тяжести, легко учесть поправки, обусловленные конечностью массы ядра. Уравнение для определения энергии Е и собственных функций будет, с учетом движения ядра, писаться в виде
где т\ — масса ядра, хъ уъ гх —его координаты, т2 — масса электрона, х2у У2, z., —его координаты, г есть расстояние между ядром и электроном
так что ?ь г)ь ?1 в этом случае суть просто относительные координаты ядра и электрона, X, Y, Z — координаты центра тяжести электрона и ядра. В этих координатах гамильтониан уравне-
+ U(r)W = Ex?, (108.1)
Г2 = (Xi - х2)2 + (г/i - г/2)2 + (Zi - г2)2. Вводя координаты Якоби, согласно (104.3) получим
(108.2)
(108.3)
(108.3')
(108.3")
§ lOtTj
УЧЕТ ДВИЖЕНИЯ ЯДРА В АТОМЕ
465
ния (108.1) перепишется согласно (104.10) в виде
__ Л2 I CW (Mr\ _ Л2 cPF\
2Л1 dK* + dZ*J 2[,i\ dv-i + fy* + дг* J +
+ {У(г)Ч' = ?Чг, (108.1')
где
М = т1 + т2, 1 = 1. + /^. (108.4)
Разделим переменные X, Y, Z и x, у, г так же, как это делалось в § 104 (см. (104.15)):
i
Y(X, Y, Z, х, у, 2) = е~*{РхХ+Р«?+Рг2\->(х, у, г). (108.5)
Это решение означает свободное движение центра тяжести атома с импульсом рх, ру, pz. Для функции гр (х, у, г), описывающей относительное движение, получим
~ k- (И + V + Щ + и (г) ^ = е^> (108.6)
где
*~Е-т- Е=“+&- <11Ж7>
Уравнение (108.6) совершенно одинаково с уравнением для движения частицы с массой (ы в заданном силовом поле U (г), 8 имеет смысл внутренней энергии атома (энергии относительного движения), а полная энергия Е складывается из энергии относитель-
р^
ного движения 8 и энергии движения центра тяжести атома
Когда мы решали задачу о движении электрона в атоме, то мы имели дело с таким же уравнением, как и (108.6), но вместо приведенной массы р, стояла масса электрона. Поэтому нам нет надобности заново решать задачу о движении электрона в атоме с учетом движения ядра. Чтобы теперь найти е и гр (х, у, z), достаточно заменить во всех прежних формулах массу электрона на приведенную массу (ы. Так как масса ядра шх во много раз больше массы электрона т2, то из (108.4) следует, что [\ так что вызываемые движением ядра поправки к 8 и 'ф будут малы. Если считать массу ядра бесконечно большой, то \i--m* (масса электрона). При этом условии в § 51 нами было найдено значение постоянной Ридберга R (мы обозначим ее теперь через Roo и массу электрона через ш2), равное
<108'8>
Мы видим, что для того, чтобы получить истинное значение постоянной Ридберга, определяющей оптические частоты элек-
466
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVIII
трона, движущегося в кулоновском поле, нужно заменить т2 на приведенную массу (ы. Так как ус для различных атомов различно, то это обстоятельство позволяет определить из спектральных наблюдений массу электрона. Это было сделано Хаустоном с помощью точных измерений линий На и Нр водорода и сравнения их с соответствующими линиями иона Не1. Так, например, для На частота vH для водорода равна
- Rh ( oV - 32) = 36 Я
\Ih
где Rh — постоянная Ридберга для водорода. Для иона гелия и для того же квантового перехода имеем
VHe - 4/?Не (2Г - gt) = зд /?Нс,
где Rhc — постоянная Ридберга для Неь. Множитель 4 появляется по той причине, что величина термов атома (см. § 51) пропорциональна квадрату заряда ядра Z2. Заряд же ядра Не вдвое больше заряда ядра Н. Из предыдущих формул следует, что
i
4 vHc“vH Инр — Ин
7 = = (108‘9)
vh М'Н
где |1нс и |lih суть приведенные массы иона гелия и водорода. Согласно (108.4) имеем
—- = ——к , -L = -L+.Lf (Ю8.10)
Пн тн тг ' Пне тНе тг
где тн —масса ядра водорода, а /пне — масса ядра гелия. Подставляя это в предыдущую формулу, мы получим
тлл— /л.» тп
у= J4 и (108.9')
тНс~гтН тН
Отсюда видно, что, определив спектроскопически у и зная атомные веса Н и Не, мы можем вычислить отношение т. е.
тн
«атомный вес» электрона. Указанным путем Хаустоп нашел
-_2- = 0,000548, 1838,2 ± 1,8. (108.11)
т\\ f}l2
Этот же эффект является средством для определения масс изотопов. В самом деле, линии, соответствующие одинаковым квантовым переходам,' у разных изотопов несколько различны из-за различия в приведенных массах. Таким путем была установлена масса тяжелого водорода (дейтерия): т0=.2тн*
§ 10'J] СИСТЕМА МИКРОЧАСТИЦ, СОВЕРШАЮЩИХ МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 4G7
§ 109. Система микрочастиц, совершающих малые колебания
Рассмотрим сначала систему из двух одинаковых частиц, совершающих малые колебания. Обозначим отклонение первой частицы от положения равновесия через лгь а второй—через х2. Потенциальная энергия U (хь х2) для малых отклонений может быть разложена в ряд
