Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
ч == 1 -I
- E4(qu q2i q3N). (109.21)
Очевидно, что это уравнение распадается на 3N уравнений
для 3N независимых осцилляторов, если представить 4я в виде
произведения функций от qu q2, ..., q3N• Уравнение для осциллятора, представляющего s-e нормальное колебание, будет
/г2 д2г|э (я ) ucl>-
+ = (Ю9.22)
Отсюда _____ _____
ЧЧ Ш = У^ге~v,llff«t (Ы, q*' {Ш23)
?„4 = Й©^л4 + -^, ns = 0, 1, 2, ... (109.24)
Собственные же функции и собственные значения всей системы
осцилляторов определяются выражениями
tynln2...ns...n3N (qu #2> •••> 4s> Qsn) =
= 'фл1 (<ы, (109.25)
Enin2...ns...n3N = ЙСОх ^1 + "2j + • • • + +-g-j + • • •
... -f- Йсо3дг (n3N ~Ь -o> (109.26)
§ 1101
ДВИЖЕНИЕ АТОМОВ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
471
где /?t, п2, п5, ..., //;{Лг —целые положительные числа, вклю-
чая нуль. Нулевая же энергия системы равна
?о“ у (^i 032 -К • • + (05 + - • (109.27)
Перебирая всевозможные значения чисел ns в (109.26), мы получим все квантовые уровни системы колеблющихся частиц. Из (109.26) следует, что для определения этих уровней достаточно знать частоты нормальных колебаний (os.
Примером систем, имеющих квантовые уровни вида (109.26), могут служить молекулы и твердые тела. И в тех, и в других атомы совершают малые колебания около положений равновесия1).
Заметим, что при больших амплитудах колебаний следует учесть высшие члены в разложении потенциальной энергии, именно, члены
вида ~зГ dxii\yk'dz'rXiykZlJr ”¦ 11 т* п' Колебайия тогда будут нелинейными, и паши результаты будут иметь лишь приближенное значение. В частности, формула (109.26) будет справедлива лишь для малых квантовых чисел ns.
§ 110. Движение атомов во внешнем поле
Рассмотрим движение системы частиц (атома, молекулы) во внешнем поле сил. В целях большей конкретности мы ограничимся системой из двух частиц с массами тх и пи и координатами
Уъ *1 и х2, у2, г2.
Обобщение на случай большего числа совершенно тривиально.
Обозначим энергию взаимодействия частиц через W (хх — х2, У\ — Уъ* 2i —г2), энергию первой частицы во внешнем поле через
(*ь */ъ 2i), а энергию второй — через U2 (x2t у2, z2). Уравнение Шредингера для волновой функции системы ?(хъ уи гъ х2, у2, г2, t) будет иметь вид
ih дЖ =-ШГ V'XF ~ ък + UlV + + w'v- (110-!)
Введем в это уравнение вместо координат частиц уи zx и х2> у2, г2 координаты центра тяжести X, Y, Z и относительные координаты х, у, г (см. (108.3)). Переходя в (110.1) к этим новым
х) Квантование энергии колебаний атомов в твердом теле находит свое выражение в квантовом характере теплоемкости твердого тела, которая при Достаточно низких температурах меньше той, которая полагалась бы по классической теории (3/г, где k — постоянная Больцмана), именно, теплоемкость твердого тела убывает с уменьшением температуры пропорционально Т3. Расчет теплоемкости твердого тела на основе квантовой теории изложен почти во всех курсах по статистической физике.
472
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ .МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVIII
координатам и замечая, что по (108.3)
Xi X - [- уух, x. = X - у,х, yl = Y + yly, tji=Y~y,y, (110.2)
= Z+Yi?,
Vi = -75^. Ь = (110-3)
мы получим
ih 7с=~Ш V>'F - Sr + u* + У*' Y + Ytf, 2 f тИ 4f -\-
+ U2 (X - y,x, Y - y.iy, Z - y2z) ? + W (X, у,г)% (110.1')
где
T73 _ & . <Э2 d* _s _ <92 . 02 d2
* “ dx2 "+¦ dK2 "+¦ dZ2 ’ v*“ d*2 + ф2 + дг2
Переменные X, У, Z и .г, у, z в этом уравнении ввиду наличия поля (Ui и ?Д) не разделяются. Поэтому в общем случае исследование этого уравнения весьма затруднительно.
Предположим, однако, что размеры системы малы. Это означает, что мы ограничиваемся рассмотрением таких систем и таких состояний, когда волновая функция W достаточно быстро убывает с увеличением относительного расстояния г = Yx2 + y2-\-z2 двух частиц. Пусть это убывание таково, что вероятность найти частицы на расстоянии г>а друг от друга практически равна нулю. Тогда а можно рассматривать как размер нашей системы (например, «радиус» атома, «длина» молекулы и т. п.).
В этом случае в уравнении (110.1') играет роль лишь такие области х, у, г, для которых г<а. При таком предположении мы можем разложить их и U2 по степеням х, у, г (если их и U2 — достаточно гладкие функции). Это разложение мы напишем в виде
Ui(X~\~yix> У у % ~Ь Yi~) Н~^2 ~ 72*? У — УъУ* Z —у2г) —
= Ui(X, Y, Z) + U2(X, Y, Z) + ^i-x+...+^2+...=
= V(X, Y, Z) + w(X, Y, Z, x,y, z)+ ..., (110.4)
где V (X, Y, Z) есть потенциальная энергия центра тяжести системы, а через w обозначены члены, содержащие х, у, г. Этот член связывает движение центра тяжести с относительным движением. Уравнение Шредингера (110. Г) теперь можно записать в виде
1'АЖ = [-Ж^ + К(*’ F' Z)]^+\--^Vi+W(x, г/,г)]^ +
+ w(X, У, Z, х, у, z) lF. (110.5)
Пусть в отсутствие внешнего поля собственные функции для внутреннего движения будут урп (х, у, z), а собственные значения
§ 1101 ДВИЖЕНИЕ АТОМОВ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 473
энергии Еп. Очевидно, что 1$ есть решение уравнения
- ~ + W7 (х, У, z) if?, - Е%уГ„. (110.6)
Если мы учтем влияние внешнего поля, то к этому уравнению добавится член w(X, Yy Z,x,y, 2), и мы получим уравнение
