Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
^ = [Я,Я] = О, (107.2)
что и выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе.
*) Е. Вигнер, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961.
{60 ЗАДАЧА МНОГИХ ТПЛ [ГЛ. XVII
Б. Закон сохранения импульса
Рассмотрим замкнутую систему частиц и произведем смещение всех координат (радиусов-векторов) xk на бесконечно малую величину Ах. Тогда
'Ф'^^ + Ах, Хдг + Ах, 0 =
N
= г|>(хь хА-, 0+Дх 2 (107-3)
Л=1
где — градиент по координатам k-и частицы.
Рассматривая это смещение как бесконечно малое унитарное преобразование
S.v= l + Zg-Ax, где g'-эрмитов оператор, найдем
N
2 (Ю7.4)
/г= 1
Оператор g только множителем ft отличается от оператора полного импульса системы Р (103.1). Так как операции смещения в пространстве Sx и во времени 5/ могут выполняться в любом порядке (в отсутствие внешних сил), то Sx и S, коммутируют, Т. е. [tig] = 0, а следовательно, [PH] — 0. Это означает
? = 0, (107.5)
т. е. сохранение полного импульса замкнутой системы.
В. Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим бесконечно малое вращение системы в изотропном пространстве вокруг оси OZ на угол Дфг. Это вращение приведет к изменению координат k-н частицы на
Axft = {*/ftA<j>^, — хкА<рг, 0}. (107.6)
Новая функция т|/ = г|) (xt + Ахь ..., xN-\-AxN, t) может быть получена из первоначальной с помощью бесконечно малого унитарного преобразования
•V= 1 + ш.гЛф-, г]/= (107.7)
С другой стороны, учитывая (107.6), получим ^(Xi + AXi, ..., xn + Axn, /) =
N
= 1|) (Хх, . . . , X*. 0 - 2 (Xk дук ~ Ук dx,J (107-8^
к — 1 *
§ 1071 СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 461
Сравнивая (107.7) и (107.8), получим
N
<|07-9)
к= 1
т. е. /72- только множителем отличается от оператора Мг проекции полного момента па OZ. Аналогичные соотношения получим для вращения вокруг двух других осей и, таким образом,
SV=1+-J-MA4>, (107.10)
где М-оператор момента импульса системы.
В силу изотропности пространства и однородности времени операторы Sф и Sh а следовательно, М и Й коммутируют между собой, т. е. [МН] = 0. Поэтому
0, (107.11)
т. е. момент импульса системы есть интеграл движения.
Г. Закон обратимости процессов в квантовой механике
Рассмотрим преобразование Т обращения времени: t->— t.
Уравнения движения инвариантны по отношению к этому преобразованию для случая обратимых процессов. В квантовой механике все процессы обратимы 1). Поэтому операции Т должно соответствовать некоторое унитарное преобразование волновой функции и операторов, отображающее свойство обратимости.
Рассмотрим уравнение Шредингера сначала' в отсутствие
электромагнитных полей
Я = + (107.12)
При замене t на —t мы получим
-ihd~l- = Hf, (107.12')
где г|/ = ф (хъ ..., xN, — t) =
Сравнивая (107.12') с уравнением Шредингера для комплексно-сопряженной функции
= (107.12")
1) Это утверждение не относится к процессу измерения, который может быть и необратимым.
462
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVII
МЫ ВИДИМ, ЧТО
= = (107.13)
т. е. функция, описывающая обращенное во времени движение, совпадает с комплексно-сопряженной.
В случае заряженных частиц, движущихся во внешнем электромагнитном поле, при обращении времени нужно одновременно
переменить знак магнитного поля и знак спинов:
SrA = —ASr, (107.14)
Stg = — gSt. (107.15)
Действительно, при таком преобразовании уравнение Паули
(61.5)
т I-=L [(- т+1АГ - ¦^+ж <°н>] + <107-1б)
при замене t~>—t, A-v —А, о-у — a, H = rotA-> —Н перейдет в уравнение для комплексно-сопряженной функции г|)*, т. е. сохранит силу равенство1) (107.13).
Д. Закон сохранения четности
Рассмотрим теперь преобразование инверсии Р: x-v — х, у-*- —у, z ¦—»—z. Это преобразование соответствует переходу от правой системы координат к левой.
В нашем пространстве нет различия между правыми и левыми винтами. Поэтому теория должна быть инвариантна по отношению к преобразованию инверсии Р. Это требование налагает условие на возможные гамильтонианы, именно,
РН=НР. (107.17)
Соответствующее унитарное преобразование волновой функции будет
ф'з=1|>(—дг, —у, -z, t) = H(x, У, г, t). (107.18)
Равенство (107.17) означает, что оператор инверсии есть инте-
грал движения
? = 0. (107.19)
А
Далее, очевидно, что P2\f> = -j- \f>. Отсюда следует, что собственные значения оператора инверсии равны ± 1. Волновые функции (или состояния), принадлежащие Р = + 1, называют ч е т н ы м и (+), а принадлежащие Р = —1, —нечетными (—).
1) Ср. по этому поводу § 44 и сноску на стр. 174.
§ 1071
СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ
463
Если состояние в какой-то момент времени обладает определенной четностью, то в силу (107.19) эта четность не может измениться. Поэтому четность является одним из признаков, которым характеризуется квантовая система.
В частности, для частицы в состоянии с орбитальным моментом I четность равна (—1)* (§ 25). Для системы частиц, обладающих моментами /х, ..., lNy четность состояния будет определяться четностью произведения У / ,..., YiNmN, что дает (—1)
В заключение заметим, что' если квантовая система находится не в пустом пространстве, а в какой-то среде, во внешнем поле или внутри кристалла, то свойства симметрии среды будут также отображаться в существовании некоторых интегралов движения.
