Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
U (х 1, х2) — х\ -(- ^2“°- xl -f- %XiX2 -f-... (109.1)
Здесь (I — масса частиц (одинаковая для обеих), со0 —частота колебаний частиц в отсутствие взаимодействия между ними, Хххх2— энергия взаимодействия частиц (для малых и х2).
Оператор полной энергии частиц, имеющих потенциальную энергию (109.1), имеет вид
л Ь2 д2 . исол о Ь2 д2 . исо", «> , * /тп о\
h = -^m + Vx^-2рщ + -г*- + Кх'х>- (¦Ш2>
Из классической механики известно, что для системы частиц, совершающих малые колебания, можно ввести так называемые «нормальные координаты» qly q2, в которых потенциальная энергия U выразится в виде суммы квадратов qu q2, а кинетическая энергия —в виде суммы квадратов соответствующих импульсов, так что мы будем иметь дело с двумя независимыми нормальными колебаниями. В рассматриваемом частном случае эти нормальные координаты связаны с и х2 формулами
*1 = ^(?1 + <72), = (109.3)
Эта особенность нормальных координат сохраняется и в квантовой механике. Введем в (109.1) вместо х± и х2 нормальные координаты qi и q2. Для этого заметим, что
дф дф дхх , дт|) дх2 1 / дф , дф'
dqL дхг dq1 dx2 dql |/ 2 Ox2 j
W . дУ_ 1 О ^
dql ~ 2 \dxj ‘ dx'i дх^дх^
подобным же образом
дЦ> _ 1 (д2ур . 2 \
dql 2 \дх'{ дх'$ дх1дх2)'
Следовательно,
ду , __ &\р дЩ>
dx'j ‘ дх\ ~~ dq\ ' dql "
На основании этого равенства получаем
4G8
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVIII
где
+ Я, [ко.] = (icojj — К. (109.5)
Из (109.4) следует, что гамильтониан двух связанных осцилляторов в нормальных координатах представляется в виде суммы
гамильтонианов для двух независимых осцилляторов, одного с частотой щ и другого с частотой о)2 (тот же результат, что и в классической механике).
Найдем квантовые уровни и соответствующие нм собственные функции системы связанных осцилляторов. Оператор содержит координаты Qi и q2 и, следовательно, волновая функция г|) должна рассматриваться как функция qv и q*. Уравнение Шредингера для стационарных состояний нашей системы имеет вид
II2 д2\р . LIG); о. h2 д2ф . [Ш* о, п . /1 г\г\ гу \
- 2а 4 + 2(г Щ + V ^ = ^
Это уравнение легко решается разделением переменных. Для этого положим
(109.7)
И
Е = Е1 + Е2. (109.8)
Подставляя (109.7) и (109.8) в (109.6), деля результат на tyi(q\Y\)2{q2)
и приравнивая порознь постоянным и Е2 члены в левой части,
зависящие от q1 и q2 соответственно, получим
ад.. (Ю9.9)
+ <109'9'»
Первое из этих уравнений есть уравнение для осциллятора с частотой соь а второе —для осциллятора с частотой со2. Поэтому собственными функциями уравнений (109.9) будут ___________________________ ^2 __________________________
Ы = У-те'^Нч (il) (ь = Y^r 4i). (109.Ю)
а собственными значениями
?Л1 = fad!(«1 + , tii = 0, 1, 2, ... (109.11)
Подобным же образом для уравнения (109.9') имеем
= (109.100
2~), «2 = 0, 1, 2, 3, ... (109.11')
§ 109] СИСТЕМА МИКРОЧАСТИЦ, СОВЕРШАЮЩИХ МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 469
Отсюда следует, что собственные функции исходного уравнения (109.6) имеют вид
i|V2(<7i, ^г) = ^я1Ы^/»2Ы, (109.12)
а соответствующие собственные значения оператора энергии равны
^п1п2 = (/Zl "2") ^0)'2 (^2 2 ) * (109.13)
Нулевая энергия системы равна
?оо = иг + ^. (Ю9.14)
Вероятность найти нормальные координаты, лежащими в интервалах qu qi-\-dqi и q.,, q-i + dq*, равна
w(qit 9г)^1^2 = Ч'п,«2(<?1. q-i)dqidq2. (109.15)
Если мы желаем определить вероятность того, что координаты частиц лежат в интервалах хъ ху + dxL и х.>, х> + dx2, то для этого достаточно заметить, что
dq1 dq2 = dxx dx2,
и выразить в (109.15) qt и q2 через хг и х2. Тогда получим
w (xL, х2) dxi dx2 =
= №lnt^r-=(x 1 + Jf2), y2 (Xi- x^ 'jdx-L dx2. (109.16)
Сходные результаты получаются для системы с любым числом степеней свободы. Пусть мы имеем N частиц, совершающих малые колебания около положения равновесия. Обозначим отклонения ?-й частицы от положения равновесия через xki yki zk. Тогда потенциальная энергия равна
N
U~~2 ^ {^¦ikxixkJrEikyiyk-\-CikZiZk-\-DikXiyfiJr
+ EikXiZk + FikyiZk) +..., (109.17)
причем величины Aik, Bikl Cik, Diky Eik, Fik суть вторые производные потенциальной энергии по смещениям. Так, например,
Из классической механики известно *), что в этом случае можно ввести нормальные координаты qs, s= 1, 2, ..., 3N, такие, что
*) См. например, Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, «Наука», 1973, § 23.
470 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVIII
гамильтонова функция распадается на сумму гамильтоновых функций гармонических осцилляторов.
Нормальные координаты qs и декартовы xkt Ук> zk связаны ортогональным преобразованием
^ = 2(а5А + Р5*уН-Т*/Л). S=U 2> •••> 3jV- (Ю9.18)
к
где askl |35fr, ysk суть коэффициенты преобразования. В нормальных координатах ^. — гамильтониан нашей системы
N N
Й=2{~^кЧ)+ 2 2 №**** + ¦¦- + Ъ*У,**) (Ю9.19)
k — 1 i, к = 1
преобразуется к виду
а ( № д2 ИСОс \
н= 2 {-%*•+-г4 <|09-20>
S — 1
где (I —некоторая эффективная масса, а (о5 — частоты нормальных колебаний. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид
• 3 N
^ ( п2 д2 [Ш?
2 [~ 2fi^+~ql)\'W^u ^ •••- ^
