Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
wm= I w(X, Y, Z) dX dY dZ —
V'm
= Hlc«l2- ^ \<S>«\adXdYdZ. (111.19)
п V
!) Для простоты мы обозначаем все квантовые числа (п, /, т) одной буквой п.
§ П21
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА С АТОМОМ
479
Если пучки разделены, то все интегралы равны нулю, кроме интеграла
^ 1 <S>m^dXdYdZ,
Vm
равного единице в силу того, что Фш нормирована. Таким образом,
Wm=\c,n j2- (111.20)
Но wm есть как раз вероятность того, что энергия атома равна Ет (так как атомы с различной энергией принадлежат различным пучкам). Поэтому рассмотренное нами определение энергии атома находится в полном согласии с интерпретацией величин \сп |2 как вероятностей найти значение энергии атома Еп. При этом измерительным аппаратом служил сам ато?л: внутренняя энергия Еп определялась по положению центра тяжести атома.
Обратим внимание еще на одно важное обстоятельство. В § 16
мы утверждали, что измерение всегда превращает чистый ансамбль в смешанный. Легко убедиться, что в рассматриваемом случае это превращение на самом деле имеет место. Определим вероятность найти электрон в окрестности точки х, у, г при заданном положении центра тяжести атома X, К, Z. Имеем
W (х, у, Z, X, Y, Z) = I ? !2 == 2 2 (X, у, z) ^ (X, у, Z) X
п т
хФ„(Х, Y, Z)Ofn(X, Y, Z). (111.21)
В области, где Ф„ и Ф,„ перекрываются, мы имеем интерференцию состояний г|}„, o|v. и для определения w важны фазы с„, с*„. В области, где Ф„ и Фт не перекрываются (измерение!), мы получаем
w(x, у, г, X, У, Z) = j ? |2 =
= 2 КНЫ*. У, г) |* | (X, У, Z) |2, (111.21')
П
т. е. фазы сп выпали. Вероятность w образуется теперь некоге-рентно из г])., как это характерно для смешанного ансамбля (ср. § 16).
§ 112. Неупругие столкновения электрона с атомом. Определение энергии стационарных состояний атомов методом столкновений
Одним из простых приложений теории движения многих тел является расчет неупругих столкновений с атомами. С такого рода столкновениями мы встречаемся в опытах Франка и Герца (§ 3). Однако наш расчет нельзя будет непосредственно приме-
480
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVIII
нить к этим опытам, так как мы будем предполагать, что сталкивающийся электрон имеет энергию, значительно превышающую энергию электрона в атоме (при этом условии можно будет применить теорию возмущений). Оператор полной энергии двух электронов *) имеет вид
Здесь U (/*х) означает потенциальную энергию атомного электрона
е2
в поле остова (ядра и остальных электронов атома), ¦;---------------:
J Г1 Г2 I
есть кулоновская энергия взаимодействия атомного электрона с электроном, летящим извне, U (г2) есть энергия этого последнего электрона в поле остова атома. Остальные члены имеют само собою понятное значение.
Кинетическую энергию летящего извне электрона мы считаем столь большой, что все его взаимодействия с атомом W будем рассматривать как возмущение. Тогда уравнение Шредингера для невозмущенного движения будет иметь вид
где tyn — волновая функция стационарного состояния электрона в атоме, принадлежащая энергии Е°п, a \j)Po — волна де Бройля, описывающая свободное движение летящего извне электрона с импульсом р0.
Нас интересует вероятность перехода нашей системы из двух электронов в какое-нибудь другое состояние:
Для вычисления этой вероятности применим теорию квантовых переходов под влиянием возмущения, не зависящего от времени
!) Движением атома в целом мы можем пренебречь ввиду большой величины массы ядра по сравнению с массой электрона.
Н (гь Га) = Н (гх) + Н (г,) + W (гь г,) = Й° (гь r2) + W (гь г2),
(112.1)
Н( г,) = -
(112.2)
(112.3)
Н°{гь r2) oJ?° (г2, г2) = ?гр°(|‘1. Гг)- (112.4)
Оно имеет решение
ф«,р„(г1. Г8) = ^(Г1)фр,(г8),
(112.5)
(112.6)
•фтр (Гь г2) = г|4 (гх) фр (Г2).
(112.7)
§ 112] НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА С АТОМОМ 481
(§ 85). Таким возмущением является у нас энергия W (112.3). Вычислим сначала матричный элемент этого возмущения для перехода /г, р0->т, р. Имеем
WV яр0 == ^ dvt dv^;n% (гь г2) (и (г2) +| Г1^Г2-|)'Ф»р, (г 1, Г2)
(112.8)
(здесь dv 1, dv2 означает интегрирование по координатам первого и соответственно второго электрона). Вычислим сначала интеграл по dvx. Введем
Ртп (ГХ) = — (Гх) (ri). (1 12.9)
Эту величину будем называть матричным элементом плотности заряда для перехода п->т (очевидно, что рпп есть среднее значение плотности в состоянии я|^). Учитывая ортогональность функций ^пу мы получаем
J (го • (ri) (и (г2) + ~Г{
= U (r2) 8тп-- Vmn (Га). (112.10)
Последняя величина может рассматриваться как матричный элемент потенциальной энергии сталкивающегося электрона (2) в поле ядра и атомного электрона (1).
Если т = п, то столкновение будет упругим. Vпп совпадает с той энергией возмущения, которая встречалась в § 79 в теории упругого рассеяния электронов. Подставляя Vmn(r2) в (112.8) и имея в виду, что
? РоГ2 .рг2
<"2'п)
получим
1 с ^--P_Lr? 1
№тр,пр0= (2л/7)3 J ^тп (Гз) е h ~ (2лЙ)3 ^тп (112.12)
где через К обозначен вектор
К=^ = ко-к, (112.13)
где к0 и к —волновые векторы электрона до и после столкновения.
Для вычисления вероятности перехода в 1 сек из начального состояния Еп, рх9 pi, р! в конечное Ет, р, dQ (dQ — элемент телесного угла, в котором лежит направление импульса электрона р после столкновения) применяем формулу (85.3). Плотность состояний на интервал полной энергии системы, обозначен-
