Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
(5.4.6).
Приближенный метод сопряженных полей. В некоторых задачах, в которых теплопроводность зависит от температуры, можно рекомендовать применение приближенного метода разделения циклических координат. Вместо преобразования (5.4.7) будем считать теплопроводность равной некоторой усредненной величине, не зависящей от температуры. Эта усредненная теплопроводность может зависеть от координат. Тогда сопряженное поле рассчитывается с помощью таких усредненных значений. Однако при нахождении диссипативной функции в виде этих сопряженных полей используется действительная теплопроводность, зависящая от температуры. В отличие от метода, основанного на применении преобразования (5.4.7), этот приближенный метод не требует, чтобы теплопроводность не зависела от координат, и учитывает коэффициент теплообмена.
5.5. ОПЛАВЛЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ
Нелинейность может возникать не только вследствие зависимости свойств материала от температуры, но и из-за граничных условий, как, например, в задачах о промерзании или оплавлении. Движение границы зависит от неизвестного стационарного температурного поля. Поэтому положение границы должно учитываться в уравнениях с помощью дополнительной неизвестной. Излучение на границе представляет еще один пример, когда нелинейность определяется граничными условиями.
Оплавление (подвижные границы). Сформулируем кратко задачу с движущимися границами с помощью простого примера.
Как уже указывалось в случае линейной системы, вариационный принцип можно использовать, если считать, что при определении теплового потенциала и функции диссипации интегрирование производится по объему с подвижными границами. Тогда каждая тепловая сила определяется на соответствующей подвижной гра-8* U5
^ \ f ^ f t ct; i i У77Ш 7///////J 7ШШ //////////)
a 7
k kJ
x 1
Рис. 5.1. Абляция полупространства при постоянном подводе тепла R к границе плав* ления.
нице. Это свойство является следствием того, что уравнения Лагранжа описывают тепловой поток для заданного мгновенного положения границ и температуры независимо от истории развития процесса. По той же причине этот принцип применим также для систем с подвижными границами и свойствами, зависящими от температуры. Приведенные замечания показывают, что вариационный принцип и уравнения Лагранжа могут использоваться для реше-
ния задач такого -тпа.
В качестве иллюстрации метода рассмотрим более простую задачу абляции, когда свойства среды не зависят от температуры. Предполагается, что расплавленное вещество удаляется с границы сразу же после расплавления. Полупространство, заполненное твердым телом с постоянной теплопроводностью k и постоянной теплоемкостью с, плавится на границе А (рис. 5.1). Удельную скорость
подвода тепла к плавящейся поверхности обозначим через R. 'В момент t граница плавления вещества проникает на глубину a(t). Для исследования задачи с движущейся границей могут быть использованы уравнения Лагранжа.
Нестационарное распределение температуры в твердом теле аппроксимируется выражением
1—(5.5.,)
= »«•[
Г’
в которое входят две неизвестные — глубина плавления a(t) и глубина проникновения q(t) тепла в нерасплавленный материал. Здесь х— координата по глубине, а температура плавления 0=0т при х=а.
Следует отметить, что при использовании уравнений Лагранжа только q считается обобщенной координатой, a a(t) рассматривается как заданная функция времени, неподверженная варьированию. В действительности, глубина плавления a(t) остается неизвестной, и она должна определяться из вспомогательного уравнения, которое не связано с вариационным принципом.
Тепловое смещение на глубине х будет: a+q
(х — а) \4 О (
х
При расчете теплового потенциала, диссипативной функции и тепловой силы интегрирование производится по области a<x<a+q.
Я =
a+q
О j «0 dx=-^-qcBm |
(5.5.2)
116
Определим:
a + q a + q
1 Г 1 Г 1 - Л (дН
2 j c№dx; D= g J ? Нгй%-, Q=0m^^.
V
a
\ dq /*=„
(5.5.3)
и получим соответствующее уравнение Лагранжа
dV , dD „
-w+~W=Q- ^
Подставив в уравнение ,(5.5.4) значения V, D и Q из уравнений (5.5.3), получим:
/ 4 . 11 . \ 5 k
112 Ч + ~№'а ) q= 14 Т- (5.5.5)
Это уравнение содержит две неизвестные — а и q. Вспомогательное уравнение получается из условия сохранения энергии в процессе плавления в виде
R (L + с0ш) а + bmcq, (5.5.6)
где L — скрытая теплота плавления в единице объема. Следовательно, мы получили два совместных дифференциальных уравнения
(5.5.6) и (5.5.5) для двух неизвестных функций времени q(t) и a(t). Уравнения (5.5:6) и (5.5.5) получены и решены численно в работе [Л. 6-2]. В дальнейшем вариационный принцип использовался для решения аналогичной задачи абляции при больших температурных колебаниях и сильной зависимости теплопроводности от температуры {Л. 5-3].
Задача о распределении температуры при плавлении полубес-конечного твердого тела без удаления жидкой фазы была решена с помощью вариационного принципа Ларднером (Л. 5-4].
Излучение с поверхности. Физическая нелинейность также имеет место, когда происходит излучение с поверхности при больших колебаниях температуры. В этих случаях характеристики поверхностного теплообмена не могут быть линеаризованы. Скорость теплового потока
